Cálcule a soma das séries ou mostre que a série diverge
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para calcular ou decidir se ela diverge. A série é:
Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e decomposição em frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série usando frações parciais. A ideia é quebrar a fração complicada em duas mais simples que sejam mais fáceis de somar. Então, queremos escrever:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ (4k + 1)(4k + 5) $:
Vamos distribuir e juntar os termos semelhantes:
Como essa igualdade tem que valer para todo valor de $ k $, os coeficientes dos termos com $ k $ e os termos constantes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ 4A + 4B = 0 $ → $ A + B = 0 $ → $ A = -B $
Substituindo na segunda equação:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na série:
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários deles.
Passo 6
Vamos expandir alguns termos para ver o que acontece:
Perceba que $ -\frac{1}{5} $ do primeiro par cancela com $ \frac{1}{5} $ do segundo, $ -\frac{1}{9} $ do segundo cancela com $ \frac{1}{9} $ do terceiro, e assim por diante. Apenas o primeiro termo permanece.
Passo 7
Como a série é infinita, o último termo vai para zero:
Resposta
A soma da série é $ \frac{1}{4} $.