Cálcule a soma das séries ou mostre que a série diverge
sumk=0^infty 1(4 k+1)(4 k+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para calcular ou decidir se ela diverge. A série é:
sumk=0^infty 1(4k + 1)(4k + 5)
Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e decomposição em frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série usando frações parciais. A ideia é quebrar a fração complicada em duas mais simples que sejam mais fáceis de somar. Então, queremos escrever:
1(4k + 1)(4k + 5) = A4k + 1 + B4k + 5

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ (4k + 1)(4k + 5) $:
A
Vamos distribuir e juntar os termos semelhantes:
B
Como essa igualdade tem que valer para todo valor de $ k $, os coeficientes dos termos com $ k $ e os termos constantes devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
(4k + 1)(4k + 5)

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ 4A + 4B = 0 $ → $ A + B = 0 $ → $ A = -B $
Substituindo na segunda equação:
4A + 4B = 0
Então, a decomposição fica:
A + B = 0

Passo 5

Agora, substituímos de volta na série:
sumk=0^infty ( 1/44k + 1 - 1/44k + 5 ) = 14 sumk=0^infty ( 14k + 1 - 14k + 5 )
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários deles.

Passo 6

Vamos expandir alguns termos para ver o que acontece:
14 [ ( 11 - 15 ) + ( 15 - 19 ) + ( 19 - 113 ) + cdots ]
Perceba que $ -\frac{1}{5} $ do primeiro par cancela com $ \frac{1}{5} $ do segundo, $ -\frac{1}{9} $ do segundo cancela com $ \frac{1}{9} $ do terceiro, e assim por diante. Apenas o primeiro termo permanece.

Passo 7

Como a série é infinita, o último termo vai para zero:
14 ( 1 - 0 ) = 14

Resposta

A soma da série é $ \frac{1}{4} $.

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