Usando o teste da Raiz ou Razão, verifique se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty[raizn+1-raizn]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é verificar se a série sumn=1^infty[raizn+1-raizn] converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Esses testes fazem parte do estudo de séries infinitas, onde analisamos o comportamento das somas de termos infinitos.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série calculando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular:
Primeiro, identifiquemos an:
an = raizn+1 - raizn
Então, an+1 será:
an+1 = raiz(n+1)+1 - raizn+1 = raizn+2 - raizn+1
Agora, montamos o quociente:
an+1an = raizn+2 - raizn+1raizn+1 - raizn
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada:
(raizn+2 - raizn+1)(raizn+2 + raizn+1)(raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn) = (n+2) - (n+1)(n+1) - n = 11 = 1
Então,
L = limn to infty 1 = 1
Como L = 1, o Teste da Razão é inconclusivo.

Passo 3

Vamos tentar o Teste da Raiz agora. Esse teste envolve calcular o limite da raiz enésima do termo geral da série:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular:
an = raizn+1 - raizn = 1raizn+1 + raizn approx 12raizn (para grandes n)
Então,
raiz[n]an approx raiz[n]12raizn = 12^1/n cdot n^1/(2n)
Sabemos que:
limn to infty 2^1/n = 1 e limn to infty n^1/(2n) = 1
Portanto,
L = limn to infty 11 cdot 1 = 1
Mais uma vez, L = 1, tornando o Teste da Raiz também inconclusivo.

Passo 4

Como ambos os testes não nos deram uma resposta definitiva, precisamos usar outro método. Vamos aplicar o Teste de Comparação.
Observamos que:
raizn+1 - raizn = 1raizn+1 + raizn approx 12raizn
Comparando com a série sum 1raizn, que é uma Série p com p = 1/2. Sabemos que uma Série p converge se p > 1 e diverge se p \leq 1. No nosso caso, p = 1/2 < 1, então a série sum 1raizn diverge.
Como os termos da nossa série original são semelhantes aos da série p divergente, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty[raizn+1-raizn] diverge.

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