Usando o teste da Raiz ou Razão, verifique se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Esses testes fazem parte do estudo de séries infinitas, onde analisamos o comportamento das somas de termos infinitos.
Passo 2
Vamos começar aplicando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série calculando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular:
Primeiro, identifiquemos an:
an = raizn+1 - raizn
Então, an+1 será:
an+1 = raiz(n+1)+1 - raizn+1 = raizn+2 - raizn+1
Agora, montamos o quociente:
an+1an = raizn+2 - raizn+1raizn+1 - raizn
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada:
limn to infty 2^1/n = 1 e limn to infty n^1/(2n) = 1
Portanto,
L = limn to infty 11 cdot 1 = 1
Mais uma vez, L = 1, tornando o Teste da Raiz também inconclusivo.
Passo 4
Como ambos os testes não nos deram uma resposta definitiva, precisamos usar outro método. Vamos aplicar o Teste de Comparação.
Observamos que:
raizn+1 - raizn = 1raizn+1 + raizn approx 12raizn
Comparando com a série sum 1raizn, que é uma Série p com p = 1/2. Sabemos que uma Série p converge se p > 1 e diverge se p \leq 1. No nosso caso, p = 1/2 < 1, então a série sum 1raizn diverge.
Como os termos da nossa série original são semelhantes aos da série p divergente, concluímos que a série dada também diverge.