Considere a função
A solução ótima desta função surge em diversos problemas da engenharia. Neste tipo de problema, os vetores
e
são constantes e conhecidos, assim como o número real
. A matriz
representa um filtro e a matriz
é uma matriz de regularização, normalmente atuando como um filtro de derivadas. Considerando
mostre que a solução ótima, que corresponde ao mínimo de
, é
Esse problema é conhecido como regularização de Tikhonov generalizada.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer encontrar o vetor
que minimiza a função quadrática
. O conteúdo aqui é cálculo de derivada vetorial (gradiente) de uma soma de normas quadradas e resolução de uma equação linear para achar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função
o gradiente é dado por
. Aqui temos duas partes semelhantes, com
e com
, lembrando do fator
.
Calculamos então o gradiente de cada termo e somamos:
Calculamos então o gradiente de cada termo e somamos:
Passo 3
Para achar o mínimo, basta igualar o gradiente a zero, gerando a equação normal:
Passo 4
Por fim, assumindo que a matriz
é invertível, isolamos
: