Considere a função
J(x)=12|A x-f|^2+lambda^22|Gamma x-g|^2
A solução ótima desta função surge em diversos problemas da engenharia. Neste tipo de problema, os vetores f e g são constantes e conhecidos, assim como o número real lambda^2. A matriz A representa um filtro e a matriz Gamma é uma matriz de regularização, normalmente atuando como um filtro de derivadas. Considerando
A=[ll a & b c & d ], Gamma=[ll alpha & beta theta & omega ], x=[l x1 x2 ], f=[l f1 f2 ] e g=[l g1 g2 ]
mostre que a solução ótima, que corresponde ao mínimo de J, é
x=(A^T A+lambda^2 Gamma^T Gamma)^-1(A^T f+lambda^2 Gamma^T g)
Esse problema é conhecido como regularização de Tikhonov generalizada.

Passo 1

Nesse exercício a gente quer encontrar o vetor x que minimiza a função quadrática J(x)=tfrac12|Ax-f|^2+tfraclambda^22|Gammax-g|^2. O conteúdo aqui é cálculo de derivada vetorial (gradiente) de uma soma de normas quadradas e resolução de uma equação linear para achar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função J(x)=tfrac12|Mx-y|^2 o gradiente é dado por nabla J=(M^TM)x-M^Ty. Aqui temos duas partes semelhantes, com M=A, y=f e com M=Gamma, y=g, lembrando do fator lambda^2.
Calculamos então o gradiente de cada termo e somamos:
nabla J(x)=A^T(Ax-f)+lambda^2,Gamma^T(Gammax-g)

Passo 3

Para achar o mínimo, basta igualar o gradiente a zero, gerando a equação normal:
A^TA,x+lambda^2,Gamma^TGamma,x=A^Tf+lambda^2,Gamma^Tg

Passo 4

Por fim, assumindo que a matriz A^TA+lambda^2Gamma^TGamma é invertível, isolamos x:
x=l(A^TA+lambda^2Gamma^TGammar)^-1l(A^Tf+lambda^2,Gamma^Tgr)

Resposta

x=l(A^TA+lambda^2Gamma^TGammar)^-1l(A^Tf+lambda^2Gamma^Tgr)

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