Usando o teste da comparação, estude a série dada com relação a convergência ou divergência
sumk=2^infty 1k^2 ln k,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teste da comparação para analisar se a série sumk=2^infty 1k^2 ln k converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é o teste da comparação e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos de uma sequência infinita, como a1 + a2 + a3 + dots. No nosso caso, cada termo da série é 1k^2 ln k.

Passo 3

Agora, o teste da comparação nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Para isso, precisamos encontrar uma série conhecida que seja maior ou menor que a nossa.

Passo 4

Vamos escolher uma série para comparar. Observando 1k^2 ln k, percebemos que o denominador k^2 ln k é maior que k^2 porque ln k > 1 para k >= 3. Portanto, 1k^2 ln k < 1k^2.

Passo 5

Sabemos que a série sumk=2^infty 1k^2 é uma série p com p = 2. Séries p convergem se p > 1. Então, sumk=2^infty 1k^2 converge.

Passo 6

Como 1k^2 ln k < 1k^2 e a série comparada sumk=2^infty 1k^2 converge, o teste da comparação nos diz que a nossa série original sumk=2^infty 1k^2 ln k também converge.

Resposta

A série sumk=2^infty 1k^2 ln k converge pelo teste da comparação.

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