Cálcule a soma das séries ou mostre que a série diverge
sumk=0^infty[1(k+1)(k+2)+e^k-1 3^-k]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a soma da série infinita sumk=0^infty[1(k+1)(k+2)+e^k-1 3^-k] ou mostrar que ela diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como séries telescópicas e séries geométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar o cálculo. Ou seja, podemos reescrever a soma como:
sumk=0^infty 1(k+1)(k+2) + sumk=0^infty e^k-1 cdot 3^-k
Agora, vamos resolver cada uma dessas séries separadamente.

Passo 3

Vamos começar pela primeira série: sumk=0^infty 1(k+1)(k+2).
Essa é uma série telescópica, que é um tipo de série onde muitos termos se cancelam entre si quando a gente soma. Para ver isso, vamos reescrever a fração usando frações parciais:
1(k+1)(k+2) = 1k+1 - 1k+2
Agora, substituindo na série:
sumk=0^infty ( 1k+1 - 1k+2 )
Vamos escrever alguns termos para ver o que acontece:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Aí você vê que praticamente todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo:
11 = 1
Então, a soma dessa série é 1.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda série: sumk=0^infty e^k-1 cdot 3^-k.
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
e^k-1 cdot 3^-k = e^ke cdot 13^k = 1e ( e3 )^k
Então, a série fica:
1e sumk=0^infty ( e3 )^k
Essa é uma série geométrica, que tem a forma sumk=0^infty r^k, onde r é a razão da série. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de r é menor que 1.
No nosso caso, r = e3. Como e approx 2,718 e 3 > 2,718, temos e3 < 1. Portanto, a série converge.
A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
sumk=0^infty r^k = 11 - r
Aplicando isso na nossa série:
1e cdot 11 - e3 = 1e cdot 13 - e3 = 1e cdot 33 - e = 3e(3 - e)

Resposta

A soma da série dada é:
1 + 3e(3 - e)

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