Cálcule a soma das séries ou mostre que a série diverge
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a soma da série infinita
ou mostrar que ela diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como séries telescópicas e séries geométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar o cálculo. Ou seja, podemos reescrever a soma como:
Agora, vamos resolver cada uma dessas séries separadamente.
Passo 3
Vamos começar pela primeira série:
.
Essa é uma série telescópica, que é um tipo de série onde muitos termos se cancelam entre si quando a gente soma. Para ver isso, vamos reescrever a fração usando frações parciais:
Agora, substituindo na série:
Vamos escrever alguns termos para ver o que acontece:
Aí você vê que praticamente todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo:
Então, a soma dessa série é 1.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda série:
.
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Então, a série fica:
Essa é uma série geométrica, que tem a forma
, onde
é a razão da série. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de
é menor que 1.
No nosso caso,
. Como
e
, temos
. Portanto, a série converge.
A soma de uma série geométrica que converge é dada por:
Aplicando isso na nossa série:
Resposta
A soma da série dada é: