Calcule a soma das séries:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
Informações importantes dadas:
- É uma série com termos positivos.
- O termo geral é
para . - Precisamos encontrar o valor numérico da soma (se convergir).
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações mais simples (técnica de frações parciais). Suponha que exista uma representação
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora determinamos
substituindo valores convenientes de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim
Passo 3
É útil escrever a decomposição de forma que apareça uma diferença telescópica. Observe que
Dividindo por
,
Essa forma mostra claramente um telescópio: termos consecutivos vão se cancelar quando somarmos.
Passo 4
Considere a soma parcial até
,
Ao escrever os primeiros termos para ver o cancelamento:
Tudo cancela em cadeia, sobrando apenas os primeiros e últimos termos:
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Como
temos
Comentário didático: a série converge porque o termo geral é da ordem de
para
grande, e séries do tipo
convergem quando
.
Passo 6
Checagem rápida com alguns termos iniciais (para ganhar confiança):
soma dos dois ≈
; adicionando mais termos aproxima-se cada vez mais de
. Isso confirma que a soma total é
.