Calcule a soma das séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}.
Informações importantes dadas:
  • É uma série com termos positivos.
  • O termo geral é \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} para k=1,2,3,\ldots.
  • Precisamos encontrar o valor numérico da soma (se convergir).

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações mais simples (técnica de frações parciais). Suponha que exista uma representação
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2}.
Multiplicando ambos os lados por k(k+1)(k+2) obtemos
1 = A(k+1)(k+2)+B k(k+2)+C k(k+1).
Agora determinamos A,B,C substituindo valores convenientes de k:
  • Para k=0:
1 = A(1)(2)\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.
  • Para k=-1:
1 = B(-1)(1)\quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Para k=-2:
1 = C(-2)(-1)\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}.
Assim
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+2}.

Passo 3

É útil escrever a decomposição de forma que apareça uma diferença telescópica. Observe que
\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} =\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}.
Dividindo por 2,
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).
Essa forma mostra claramente um telescópio: termos consecutivos vão se cancelar quando somarmos.

Passo 4

Considere a soma parcial até N,
S_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).
Ao escrever os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} S_N &=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3} \\\ &\quad\;+\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4} \\\ &\quad\;+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5} +\cdots +\frac{1}{N(N+1)}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\Big). \end{aligned}
Tudo cancela em cadeia, sobrando apenas os primeiros e últimos termos:
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\right).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. Como
\frac{1}{(N+1)(N+2)}\to 0\quad\text{quando }N\to\infty,
temos
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\lim_{N\to\infty} S_N =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Comentário didático: a série converge porque o termo geral é da ordem de \dfrac{1}{k^{3}} para k grande, e séries do tipo \sum 1/k^{p} convergem quando p>1.

Passo 6

Checagem rápida com alguns termos iniciais (para ganhar confiança):
\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{6}\approx0,1667,\qquad \frac{1}{2\cdot3\cdot4}=\frac{1}{24}\approx0,04167,
soma dos dois ≈ 0,2083; adicionando mais termos aproxima-se cada vez mais de 0,25. Isso confirma que a soma total é \dfrac{1}{4}.

Resposta

\frac{1}{4}

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