Você está analisando o desempenho de uma API e coletou os tempos de resposta (em milissegundos) de 1000 requisições. Para resumir os dados, você decide calcular algumas medidas separatrizes. As frequências acumuladas para algumas faixas de tempo são:
Tempo (ms) Frequência Acumulada
<20 150
<50 500
<80 850
<120 950
<200 1000
  1. Calcule o quarto decil (D_4). O que ele representa em termos de desempenho?
  2. Calcule o percentil 75 (P_75). Se uma requisição levar mais tempo que este valor, como você a classificaria?
  3. Qual é a mediana dos tempos de resposta? Em qual faixa de tempo ela se encontra?
  4. Entre quais valores (faixas de tempo) se encontram os 20 \% das requisições mais lentas?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Calcular o quarto decil D_4 e interpretar o que ele representa em termos de desempenho.
  2. Calcular o percentil P_{75} e explicar como classificar uma requisição que demora mais que esse valor.
  3. Calcular a mediana dos tempos de resposta e dizer em qual faixa de tempo ela se encontra.
  4. Identificar entre quais faixas de tempo se encontram os 20\% das requisições mais lentas.
Dados fornecidos (frequência acumulada para N=1000 requisições):
  • <20: 150
  • <50: 500
  • <80: 850
  • <120: 950
  • <200: 1000
A partir disso eu deduzo as frequências por classe (contagens em cada faixa):
  • faixa 0\text{–}20: 150 observações
  • faixa 20\text{–}50: 500-150=350 observações
  • faixa 50\text{–}80: 850-500=350 observações
  • faixa 80\text{–}120: 950-850=100 observações
  • faixa 120\text{–}200: 1000-950=50 observações
Larguras das classes (assumindo intervalos como listados):
  • 0\text{–}20: w=20
  • 20\text{–}50: w=30
  • 50\text{–}80: w=30
  • 80\text{–}120: w=40
  • 120\text{–}200: w=80

Passo 2

Método para obter decil/percentil/mediana em dados agrupados (explicação didática):
  • Primeiro calculamos a posição de interesse usando k = p \cdot N, onde p é a fração desejada (ex.: para P_{75}, p=0{,}75), e N é o total de observações.
  • Em seguida localizamos em qual classe essa posição k cai, usando as frequências acumuladas.
  • Para estimar o valor (interpolação linear dentro da classe), usamos a fórmula: x = L + \frac{k - F_b}{f}\,wonde:
    • x é o valor estimado do quantil (em ms),
    • L é o limite inferior da classe onde k cai (em ms),
    • F_b é a frequência acumulada imediatamente antes dessa classe,
    • f é a frequência da própria classe (número de observações na classe),
    • w é a largura da classe (em ms).
  • Intuição: dentro da classe assumimos distribuição aproximadamente uniforme; (k-F_b)/f é a fração dentro da classe, multiplicada por w dá deslocamento a partir de L.
Vou aplicar esse procedimento para cada item.

Passo 3

  • Quero D_4 que é o 40\% (ou p=0{,}4). Calculo a posição: k = p\cdot N = 0{,}4\cdot 1000 = 400.
  • Em qual classe cai a observação de ordem 400? A frequência acumulada chega a 150 em <20 e a 500 em <50; portanto 400 está na classe 20\text{–}50.
  • Para essa classe: L=20, F_b=150 (acumulado antes da classe), f=350 (frequência da classe), w=30.
  • Aplico a fórmula: x = 20 + \frac{400-150}{350}\cdot 30 = 20 + \frac{250}{350}\cdot 30.Calcule passo a passo: \frac{250}{350}=\frac{25}{35}=0{,}7142857\ldots
0{,}7142857\ldots \cdot 30 = 21{,}428571\ldots
x = 20 + 21{,}428571\ldots = 41{,}428571\ldots
  • Arredondando razoavelmente: D_4 \approx 41{,}43 ms.
Interpretação didática: o quarto decil D_4 é o valor tal que 40\% das requisições têm tempo de resposta menor ou igual a ele e 60\% têm tempo maior. Em termos de desempenho, um D_4 baixo indica que 40% das requisições são bem rápidas (≤ esse valor); aqui 41{,}43 ms marca essa fronteira.

Passo 4

  • Para P_{75} uso p=0{,}75. Posição: k = 0{,}75\cdot 1000 = 750.
  • A frequência acumulada é 500 em <50 e 850 em <80; logo 750 está na classe 50\text{–}80.
  • Para essa classe: L=50, F_b=500, f=350, w=30.
  • Aplico a fórmula: x = 50 + \frac{750-500}{350}\cdot 30 = 50 + \frac{250}{350}\cdot 30.Já calculamos \frac{250}{350}\cdot 30 \approx 21{,}42857, então x \approx 50 + 21{,}42857 = 71{,}42857\ldots
  • Arredondando: P_{75} \approx 71{,}43 ms.
Interpretação: se uma requisição levar mais tempo que 71{,}43 ms, ela está mais lenta que 75\% das requisições — ou seja, pertence ao 25\% mais lentos. Em termos de desempenho, classificaríamos essa requisição como relativamente lenta (no quartil superior de tempos).

Passo 5

  • A mediana é o 50\% quantil. Posição: k = 0{,}5\cdot 1000 = 500.
  • Observamos que a frequência acumulada em <50 é exatamente 500. Isso significa que a observação de ordem 500 está no final da classe 20\text{–}50.
  • Usando a fórmula com L=20, F_b=150, f=350, w=30: x = 20 + \frac{500-150}{350}\cdot 30 = 20 + \frac{350}{350}\cdot 30 = 20 + 30 = 50.
  • Portanto a mediana é 50 ms.
Em qual faixa ela se encontra? A mediana 50 ms está exatamente no limite superior da faixa 20\text{–}50 (isto é, na fronteira entre 20\text{–}50 e 50\text{–}80). Podemos dizer que metade das requisições tem tempo ≤ 50 ms e metade tem tempo ≥ 50 ms.

Passo 6

  • Os 20\% mais lentos correspondem ao percentil 80 em diante; em termos de posições são as observações de ordem 801 até 1000 (porque 1000\cdot 0{,}8 = 800, portanto top 20\% = ranks 801 1000, total 200 observações).
  • Vamos ver em quais classes essas 200 observações caem, usando as contagens por classe (listadas no Passo 1):
    • classe 50\text{–}80: tem 350 observações, correspondendo a ranks 501 850.
    • classe 80\text{–}120: 100 observações, ranks 851 950.
    • classe 120\text{–}200: 50 observações, ranks 951 1000.
  • Agora extrair as posições 801 1000:
    • 801 850: 50 observações estão na faixa 50\text{–}80.
    • 851 950: 100 observações estão na faixa 80\text{–}120.
    • 951 1000: 50 observações estão na faixa 120\text{–}200.
  • Conclusão: os 20\% mais lentos (as 200 requisições finais) estão distribuídos entre as faixas 50\text{–}80, 80\text{–}120 e 120\text{–}200. Em termos de intervalo total, esses 20\% ocupam tempos entre aproximadamente 50 ms e 200 ms.

Resposta

D_4 \approx 41{,}43\\ \text{ms} — valor que deixa 40\% das requisições com tempo menor ou igual a ele.\n
P_{75} \approx 71{,}43\\ \text{ms} — requisições com tempo maior que isso estão entre os 25\% mais lentos.\n
Mediana = 50\\ \text{ms} — encontra-se no limite superior da faixa 20\text{–}50\\ \text{ms} (fronteira entre 20\text{–}50 e 50\text{–}80).\n
Os 20\% mais lentos estão entre 50\\ \text{ms} e 200\\ \text{ms}; especificamente: 50\text{–}80\\ \text{ms} (50 requisições), 80\text{–}120\\ \text{ms} (100 requisições) e 120\text{–}200\\ \text{ms} (50 requisições).

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