Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. Um bom método para mostrar que uma afirmação é falsa é apresentando um contra-exemplo.
A função f(x)=raiz[3]x é derivável (é possível definir f^prime(x) para todo x in R ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se a função é derivável para todo número real . Isso envolve entender o que é derivabilidade e como calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, derivabilidade significa que a função tem uma derivada definida em todos os pontos do seu domínio. Ou seja, para cada valor de , precisamos conseguir calcular .

Passo 3

Vamos usar a regra de derivação para potências. A função dada pode ser reescrita como . A regra diz que, se , então .

Passo 4

Aplicando essa regra na nossa função:
f'(x) = 13 cdot x^13 - 1 = 13 cdot x^-23 = 13 cdot 1x^2/3
Isso nos dá a expressão da derivada da função.

Passo 5

Agora, vamos analisar onde essa derivada está definida:
  • Para : A expressão está bem definida porque estamos dividindo por um número diferente de zero.
  • Para : Precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto.

Passo 6

Vamos calcular o limite que define a derivada em f'(0) = limh to 0 f(0 + h) - f(0)h = limh to 0 raiz[3]h - 0h = limh to 0 raiz[3]hh = limh to 0 h^-2/3 :
Esse limite tende a zero porque cresce à medida que se aproxima de zero, mas no caso da raiz cúbica, a função é suave e a derivada em é definida como zero.

Passo 7

Portanto, a derivada existe para todo , incluindo . A função é suave e não apresenta pontos de descontinuidade na sua derivada.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A função é derivável para todo .

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