Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. Um bom método para mostrar que uma afirmação é falsa é apresentando um contra-exemplo.
A função
é derivável (é possível definir
para todo
).
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se a função
é derivável para todo número real
. Isso envolve entender o que é derivabilidade e como calcular a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, derivabilidade significa que a função tem uma derivada definida em todos os pontos do seu domínio. Ou seja, para cada valor de
, precisamos conseguir calcular
.
Passo 3
Vamos usar a regra de derivação para potências. A função dada pode ser reescrita como
. A regra diz que, se
, então
.
Passo 4
Aplicando essa regra na nossa função:
Isso nos dá a expressão da derivada da função.
Passo 5
Agora, vamos analisar onde essa derivada está definida:
-
Para
: A expressão está bem definida porque estamos dividindo por um número diferente de zero. -
Para
: Precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto.
Passo 6
Vamos calcular o limite que define a derivada em
:
Esse limite tende a zero porque
cresce à medida que
se aproxima de zero, mas no caso da raiz cúbica, a função é suave e a derivada em
é definida como zero.
Passo 7
Portanto, a derivada
existe para todo
, incluindo
. A função
é suave e não apresenta pontos de descontinuidade na sua derivada.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A função
é derivável para todo
.