Utilize uma mudança de variáveis para calcular a integral (0,5 ponto).
onde
é a regiãọ do quadrilátero de vértices
e e
. A mudança deve levar à umáa região retangular nas novas variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla $ I = \iint_{R}(6x - 3y) , dA $, onde $ R $ é um quadrilátero com os vértices em $ (2,0) $, $ (5,3) $, $ (6,7) $ e $ (3,4) $. Para facilitar, vamos usar uma mudança de variáveis que transforme essa região complicada em um retângulo mais simples para integrar. Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e o cálculo do determinante, também conhecido como Jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma transformação linear que mapeie os vértices do quadrilátero $ R $ para um retângulo no novo sistema de coordenadas $ (u,v) $. Observando os vértices originais, podemos escolher dois vetores que definem as “bordas” do quadrilátero. Por exemplo, tomando $ \vec{v_1} = (5-2, 3-0) = (3,3) $ e $ \vec{v_2} = (3-2,4-0) = (1,4) $.
A transformação pode ser escrita como:
onde $ u $ e $ v $ variam de 0 a 1, transformando $ R $ num retângulo $ [0,1] \times [0,1] $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano $ J $ é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
Passo 4
Com o Jacobiano calculado, podemos reescrever a integral original em termos de $ u $ e $ v $. Substituindo $ x $ e $ y $ pelas expressões da transformação e multiplicando pelo valor absoluto do Jacobiano:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ u $:
Agora, integramos o resultado em relação a $ v $:
Multiplicando pelo Jacobiano:
Resposta
A integral $ I $ vale $ \frac{243}{2} $.