Calcule a soma de sumn=1^infty (-1)^nn!2^n
Sugestão: Use a série de e^x. Resp. 1raize

Passo 1

O problema pede para calcular a soma da série sumn=1^infty (-1)^nn!2^n. O conteúdo principal é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função e^x e vamos utilizá-la para reescrever essa soma.

Passo 2

A expansão de Maclaurin de e^x é dada por
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Para incorporar o fator 2^n e o sinal alternado, consideramos x=-tfrac12.

Passo 3

Substituindo x=-tfrac12 na série de e^x, obtemos
e^-1/2 = sumn=0^infty (-1/2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nn!,2^n

Passo 4

A soma que queremos é da forma sumn=1^infty (-1)^nn!2^n, ou seja, falta subtrair o termo n=0 da soma acima. O termo de índice zero é
(-1)^00!2^0 = 1
Portanto,
sumn=1^infty (-1)^nn!2^n = e^-1/2 - 1

Passo 5

Para finalizar, escrevemos e^-1/2 como tfrac1raize. Assim,
sumn=1^infty (-1)^nn!2^n = 1raize - 1

Resposta

1raize - 1

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