Uma farmácia vende, em dezembro 124 unidades de um determinado produto a
cada. O dono da farmácia estima que, para cada
de aumento no preço do produto, ele deixará de vender 4 unidades. Se a cada mês ele aumentar
, considerando que o primeiro aumento ocorreu em janeiro, determine o mês em que sua renda será máxima.
Passo 1
O enunciado diz que em dezembro a farmácia vende 124 unidades a R$ 15,00 cada e que, a cada R$ 1,00 de aumento, ela vende 4 unidades a menos. O primeiro aumento (de R$ 1,00) ocorre em janeiro, e precisamos achar em que mês a receita será máxima. O conteúdo usado aqui é otimização de função quadrática (receita em função do número de aumentos).
Passo 2
Vamos chamar k de quantos aumentos de R$ 1,00 já foram feitos: k=1 em janeiro, k=2 em fevereiro etc. A quantidade vendida passa a ser (124−4k) e o preço passa a ser (15+k). Logo a receita R(k) é produto dessas duas quantidades:
Passo 3
Para encontrar a forma explícita, expandimos a expressão:
Passo 4
Como R(k) é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de k^2 negativo), o máximo ocorre no vértice. A fórmula do vértice para ax^2+bx+c é k= -b/(2a). Aqui a= -4 e b=64, então:
Passo 5
Isso significa que o oitavo aumento maximiza a receita. Precisamos agora associar k=8 ao mês correspondente. Já que k=1 é janeiro, k=8 é agosto.
Resposta
Agosto