Uma farmácia vende, em dezembro 124 unidades de um determinado produto a R cada. O dono da farmácia estima que, para cada cada O dono da farmácia estima que, para cada de aumento no preço do produto, ele deixará de vender 4 unidades. Se a cada mês ele aumentar 1,00, considerando que o primeiro aumento ocorreu em janeiro, determine o mês em que sua renda será máxima.

Passo 1

O enunciado diz que em dezembro a farmácia vende 124 unidades a R$ 15,00 cada e que, a cada R$ 1,00 de aumento, ela vende 4 unidades a menos. O primeiro aumento (de R$ 1,00) ocorre em janeiro, e precisamos achar em que mês a receita será máxima. O conteúdo usado aqui é otimização de função quadrática (receita em função do número de aumentos).

Passo 2

Vamos chamar k de quantos aumentos de R$ 1,00 já foram feitos: k=1 em janeiro, k=2 em fevereiro etc. A quantidade vendida passa a ser (124−4k) e o preço passa a ser (15+k). Logo a receita R(k) é produto dessas duas quantidades:
1,00 já foram feitos: k=1 em janeiro, k=2 em fevereiro etc A quantidade vendida passa a ser (124−4k) e o preço passa a ser (15+k) Logo a receita R(k) é produto dessas duas quantidades:

Passo 3

Para encontrar a forma explícita, expandimos a expressão:
R(k)=124cdot15+124k-4kcdot15-4k^2=1860+124k-60k-4k^2= -4k^2+64k+1860

Passo 4

Como R(k) é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de k^2 negativo), o máximo ocorre no vértice. A fórmula do vértice para ax^2+bx+c é k= -b/(2a). Aqui a= -4 e b=64, então:
k^*=-642cdot(-4)=648=8

Passo 5

Isso significa que o oitavo aumento maximiza a receita. Precisamos agora associar k=8 ao mês correspondente. Já que k=1 é janeiro, k=8 é agosto.

Resposta

Agosto

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