Calcule a soma entre os vetores
e
e represente graficamente essa operação. Em seguida, calcule o produto do número real
com o vetor
.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a soma entre os vetores
e . - Representar graficamente essa soma (ou seja, indicar como desenhar os vetores e o vetor resultante).
- Calcular o produto do número real
pelo vetor .
As informações dadas são:
-
. -
. -
.
Passo 2
Conceito e fórmula para adição de vetores (explicação didática).
- Um vetor em
pode ser escrito como , onde é a componente na direção e é a componente na direção . O mesmo vale para . - A adição de vetores é feita componente a componente: somam-se as componentes
e somam-se as componentes . - Fórmula geral:
Explicando as letras:
e
são os dois números que definem o vetor
;
e
são os dois números que definem o vetor
. O resultado tem primeira componente igual à soma das primeiras componentes e segunda componente igual à soma das segundas componentes.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos vetores dados e fazendo as contas passo a passo.
- Identificando componentes:
- Para
: , . - Para
: , .
- Para
- Somando componente a componente:
- Calculando cada parcela:
-
(meio menos meio dá zero). -
.
-
- Portanto:
Passo 4
Como representar graficamente a adição (instruções passo a passo para desenhar, sem assumir que sabe desenhar).
- Prepare um plano cartesiano com eixo
horizontal e eixo vertical. Use a mesma unidade em ambos os eixos (por exemplo, 1 unidade na malha = ). - Desenhe o vetor
a partir da origem até o ponto . Na prática: marque meio quadradinho à direita do eixo e desenhe uma seta dessa origem até esse ponto; o vetor aponta para a direita e é horizontal. - Desenhe o vetor
a partir da origem até o ponto . Na prática: marque meio quadradinho à esquerda e um quadradinho para baixo; desenhe a seta da origem até esse ponto; o vetor aponta para baixo e levemente para a esquerda. - Para obter o vetor soma
geometricamente use a regra do paralelogramo ou a regra do triângulo: - Regra do triângulo (mais simples): desenhe
da origem, depois traduza de modo que a cauda de fique na cabeça (ponta) de . Como vetores são livres, ao “colar” sobre mantenha as mesmas componentes para . - A cabeça do
colocado sobre a cabeça de ficará no ponto . - Desenhe então uma seta da origem
até esse ponto . Essa seta é o vetor resultante .
- Regra do triângulo (mais simples): desenhe
- Observação visual simples: neste caso
desloca um pouco para a direita, vai para baixo e para a esquerda; somando dá um vetor puramente para baixo de comprimento (da origem ao ponto ).
Passo 5
Conceito e fórmula para multiplicação de vetor por escalar (explicação didática).
- Dados um escalar
e um vetor , o produto é definido componente a componente:
- Interpretação geométrica: multiplica-se o comprimento do vetor por
. Se , a direção permanece; se , a direção inverte; se o vetor fica menor; se o vetor fica maior.
Passo 6
Aplicando o produto escalar
com os valores dados e fazendo as contas passo a passo.
- Temos
e . - Use a fórmula:
- Calcule cada componente:
-
. -
.
-
- Portanto:
Passo 7
Interpretação geométrica final e verificação numérica simples.
- O vetor
tinha comprimento (porque estava ao longo do eixo até ). Multiplicar por reduz o comprimento para , portanto termina em , ainda apontando para a direita (já que ). - A soma
deu , que é um vetor vertical para baixo de comprimento ; isso pode ser conferido observando que as componentes se cancelaram ( ) e a componente ficou .