Calcule a soma entre os vetores u e v e represente graficamente essa operação. Em seguida, calcule o produto do número real r com o vetor u.
u=\left(\frac{1}{2}, 0\right), v=\left(-\frac{1}{2},-1\right), r=\frac{2}{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a soma entre os vetores u e v.
  • Representar graficamente essa soma (ou seja, indicar como desenhar os vetores e o vetor resultante).
  • Calcular o produto do número real r pelo vetor u.
As informações dadas são:
  • u=\left(\frac{1}{2},0\right).
  • v=\left(-\frac{1}{2},-1\right).
  • r=\frac{2}{3}.

Passo 2

Conceito e fórmula para adição de vetores (explicação didática).
  • Um vetor em \mathbb{R}^2 pode ser escrito como (u_1,u_2), onde u_1 é a componente na direção x e u_2 é a componente na direção y. O mesmo vale para v=(v_1,v_2).
  • A adição de vetores é feita componente a componente: somam-se as componentes x e somam-se as componentes y.
  • Fórmula geral:
(u_1,u_2)+(v_1,v_2)=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).
Explicando as letras: u_1 e u_2 são os dois números que definem o vetor u; v_1 e v_2 são os dois números que definem o vetor v. O resultado tem primeira componente igual à soma das primeiras componentes e segunda componente igual à soma das segundas componentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos vetores dados e fazendo as contas passo a passo.
  • Identificando componentes:
    • Para u: u_1=\frac{1}{2}, u_2=0.
    • Para v: v_1=-\frac{1}{2}, v_2=-1.
  • Somando componente a componente:
u+v=\left(\frac{1}{2}+ \left(-\frac{1}{2}\right),\;0+(-1)\right).
  • Calculando cada parcela:
    • \frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})=0 (meio menos meio dá zero).
    • 0+(-1)=-1.
  • Portanto:
u+v=\left(0,-1\right).

Passo 4

Como representar graficamente a adição (instruções passo a passo para desenhar, sem assumir que sabe desenhar).
  • Prepare um plano cartesiano com eixo x horizontal e eixo y vertical. Use a mesma unidade em ambos os eixos (por exemplo, 1 unidade na malha = 1).
  • Desenhe o vetor u a partir da origem O=(0,0) até o ponto U=\left(\frac{1}{2},0\right). Na prática: marque meio quadradinho à direita do eixo y e desenhe uma seta dessa origem até esse ponto; o vetor aponta para a direita e é horizontal.
  • Desenhe o vetor v a partir da origem até o ponto V=\left(-\frac{1}{2},-1\right). Na prática: marque meio quadradinho à esquerda e um quadradinho para baixo; desenhe a seta da origem até esse ponto; o vetor aponta para baixo e levemente para a esquerda.
  • Para obter o vetor soma u+v geometricamente use a regra do paralelogramo ou a regra do triângulo:
    • Regra do triângulo (mais simples): desenhe u da origem, depois traduza v de modo que a cauda de v fique na cabeça (ponta) de u. Como vetores são livres, ao “colar” v sobre u mantenha as mesmas componentes para v.
    • A cabeça do v colocado sobre a cabeça de u ficará no ponto \left(\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2}),\,0+(-1)\right)=\left(0,-1\right).
    • Desenhe então uma seta da origem O até esse ponto C=\left(0,-1\right). Essa seta é o vetor resultante u+v.
  • Observação visual simples: neste caso u desloca um pouco para a direita, v vai para baixo e para a esquerda; somando dá um vetor puramente para baixo de comprimento 1 (da origem ao ponto (0,-1)).

Passo 5

Conceito e fórmula para multiplicação de vetor por escalar (explicação didática).
  • Dados um escalar r\in\mathbb{R} e um vetor u=(u_1,u_2), o produto r u é definido componente a componente:
r(u_1,u_2)=(r u_1,\; r u_2).
  • Interpretação geométrica: multiplica-se o comprimento do vetor por |r|. Se r>0, a direção permanece; se r<0, a direção inverte; se |r|<1 o vetor fica menor; se |r|>1 o vetor fica maior.

Passo 6

Aplicando o produto escalar r u com os valores dados e fazendo as contas passo a passo.
  • Temos r=\frac{2}{3} e u=\left(\frac{1}{2},0\right).
  • Use a fórmula:
r u=\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2},\;\frac{2}{3}\cdot 0\right).
  • Calcule cada componente:
    • \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
    • \frac{2}{3}\cdot 0=0.
  • Portanto:
r u=\left(\frac{1}{3},0\right).

Passo 7

Interpretação geométrica final e verificação numérica simples.
  • O vetor u tinha comprimento \left\|u\right\|=\frac{1}{2} (porque estava ao longo do eixo x até x=\frac{1}{2}). Multiplicar por r=\frac{2}{3} reduz o comprimento para \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}, portanto r u termina em \left(\frac{1}{3},0\right), ainda apontando para a direita (já que r>0).
  • A soma u+v deu \left(0,-1\right), que é um vetor vertical para baixo de comprimento 1; isso pode ser conferido observando que as componentes x se cancelaram ( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0) e a componente y ficou -1.

Resposta

\left(0,-1\right)
\left(\frac{1}{3},0\right)

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