Calcule as somas infinitas:
\frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\frac{35}{216}+\frac{97}{1296}+\ldots.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita cujos primeiros termos são
\frac{5}{6},\\ \frac{13}{36},\\ \frac{35}{216},\\ \frac{97}{1296},\ldots
Vamos listar o que temos de informação visível:
  • Os denominadores são 6,36,216,1296,\ldots, que são 6^1,6^2,6^3,6^4,\ldots.
  • Cada termo pode ser escrito como \dfrac{b_n}{6^n} para n=1,2,3,\dots, com b_1=5,\\ b_2=13,\\ b_3=35,\\ b_4=97,\ldots.
    A tarefa: encontrar a soma infinita
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{6^n}.

Passo 2

Vamos tentar descobrir uma expressão simples para b_n. Observando os primeiros b_n:
b_1=5,\quad b_2=13,\quad b_3=35,\quad b_4=97.
Teste uma relação linear do tipo b_n=3b_{n-1}-2^{\,n-1}. Verificando:
3\cdot b_1-2^{1}=3\cdot5-2=15-2=13=b_2,
3\cdot b_2-2^{2}=3\cdot13-4=39-4=35=b_3,
3\cdot b_3-2^{3}=3\cdot35-8=105-8=97=b_4.
Portanto a sequência satisfaz a recorrência
b_n=3b_{n-1}-2^{\,n-1}\quad\text{para }n\ge2,
com b_1=5.

Passo 3

Uma forma elegante de achar a fórmula fechada é procurar uma combinação de potências que satisfaça a recorrência. Experimente a hipótese
b_n=3^{n}+2^{n}.
Verificamos por indução simples:
  • Para n=1: 3^{1}+2^{1}=3+2=5=b_1.
  • Suponha b_k=3^{k}+2^{k}. Então
3b_k-2^{k}=3(3^{k}+2^{k})-2^{k}=3^{k+1}+3\cdot2^{k}-2^{k}=3^{k+1}+2^{k+1},
que é exatamente b_{k+1}. Assim, por indução, para todo n\ge1 vale
b_n=3^{n}+2^{n}.

Passo 4

Substituindo em cada termo da série:
\frac{b_n}{6^n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}=\frac{3^{n}}{6^{n}}+\frac{2^{n}}{6^{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\!n}+\left(\frac{1}{3}\right)^{\!n}.
Portanto a série original se separa em duas séries geométricas:
S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\!n}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{\!n}.

Passo 5

Lembrete da fórmula da série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aplicando com r=\tfrac{1}{2} e r=\tfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\!n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{\!n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.
Somando as duas parcelas:
S=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Resumo prático para a prova: ao ver denominadores 6^n multiplique o termo por 6^n para obter a sequência dos numeradores; tente identificar se esses numeradores são soma de potências (aqui deu 3^n+2^n), o que permitiu separar a soma em duas geométricas fáceis. Vai por mim, isso costuma economizar tempo e evitar contas longas!

Resposta

\dfrac{3}{2}

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