Calcule as somas infinitas:
.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita cujos primeiros termos são
Vamos listar o que temos de informação visível:
- Os denominadores são
, que são . - Cada termo pode ser escrito como
para , com .
A tarefa: encontrar a soma infinita
Passo 2
Vamos tentar descobrir uma expressão simples para
. Observando os primeiros
:
Teste uma relação linear do tipo
. Verificando:
Portanto a sequência satisfaz a recorrência
com
.
Passo 3
Uma forma elegante de achar a fórmula fechada é procurar uma combinação de potências que satisfaça a recorrência. Experimente a hipótese
Verificamos por indução simples:
- Para
: . - Suponha
. Então
que é exatamente
. Assim, por indução, para todo
vale
Passo 4
Substituindo em cada termo da série:
Portanto a série original se separa em duas séries geométricas:
Passo 5
Lembrete da fórmula da série geométrica: para
,
Aplicando com
e
:
Somando as duas parcelas:
Passo 6
Resumo prático para a prova: ao ver denominadores
multiplique o termo por
para obter a sequência dos numeradores; tente identificar se esses numeradores são soma de potências (aqui deu
), o que permitiu separar a soma em duas geométricas fáceis. Vai por mim, isso costuma economizar tempo e evitar contas longas!