Calcule o valor da soma S=1+2 \cdot \frac{7}{6}+3 \cdot\left(\frac{7}{6}\right)^{2}+\ldots+n \cdot\left(\frac{7}{6}\right)^{n-1}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a soma
S = 1 + 2\cdot\left(\frac{7}{6}\right) + 3\cdot\left(\frac{7}{6}\right)^{2} + \dots + n\cdot\left(\frac{7}{6}\right)^{n-1}.
  • Podemos escrever isso de forma compacta como
S=\sum_{k=1}^{n} k\left(\frac{7}{6}\right)^{k-1}.
  • Aqui n é um inteiro positivo (assume-se n\ge 1) e a base geométrica é r=\dfrac{7}{6}.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda) — por que isso funciona e por onde vamos andar.
  • Note que a soma envolve termos do tipo k r^{k-1}. Uma ferramenta muito eficiente para somas assim é relacioná-las à soma geométrica simples
G(r)=\sum_{k=0}^{n} r^{k}=\frac{r^{n+1}-1}{r-1},
porque a derivada de G(r) com respeito a r produz os fatores k r^{k-1}:
G'(r)=\sum_{k=0}^{n} k r^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k r^{k-1},
já que o termo k=0 é zero. Como n é finito, diferenciar termo a termo é totalmente válido (não estamos em série infinita).
  • Assim basta pôr r=\dfrac{7}{6} no resultado de G'(r).

Passo 3

Calcular G(r) e aplicar a derivada.
  • Escrevemos
G(r)=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.
  • Aplicando a regra do quociente \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}} com u(r)=r^{n+1}-1 e v(r)=r-1, obtemos
G'(r)=\frac{(n+1)r^{n}(r-1)-(r^{n+1}-1)\cdot 1}{(r-1)^{2}}.

Passo 4

Simplificar o numerador do resultado da derivada.
  • Expandindo o numerador:
(n+1)r^{n}(r-1)-(r^{n+1}-1)=(n+1)r^{n+1}-(n+1)r^{n}-r^{n+1}+1.
  • Agrupando termos semelhantes:
(n+1)r^{n+1}-r^{n+1} = n r^{n+1},
logo o numerador fica
n r^{n+1}-(n+1)r^{n}+1.
  • Portanto, para todo r\neq 1,
\sum_{k=1}^{n} k r^{k-1}=G'(r)=\frac{n r^{n+1}-(n+1)r^{n}+1}{(r-1)^{2}}.

Passo 5

Substituir r=\dfrac{7}{6} e reescrever de forma mais confortável (ainda sem apresentar a resposta final isolada).
  • Tomando r=\dfrac{7}{6} temos
S=\frac{n\left(\dfrac{7}{6}\right)^{\,n+1}-(n+1)\left(\dfrac{7}{6}\right)^{\,n}+1}{\left(\dfrac{7}{6}-1\right)^{2}}.
  • Como \dfrac{7}{6}-1=\dfrac{1}{6}, o denominador é \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{1}{36}. Assim
S=36\Biggl(n\left(\dfrac{7}{6}\right)^{\,n+1}-(n+1)\left(\dfrac{7}{6}\right)^{\,n}+1\Biggr).
  • Podemos fatorar \left(\dfrac{7}{6}\right)^{n} dentro do parêntese para simplificar ainda mais:
S=36\left(\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n}\bigl(n\cdot\tfrac{7}{6}-(n+1)\bigr)+1\right).

Passo 6

Simplificar algebricamente para obter uma forma compacta e prática para uso em prova.
  • Calcule o coeficiente dentro do parêntese:
n\cdot\tfrac{7}{6}-(n+1)=\tfrac{7n}{6}-n-1=\tfrac{7n-6n-6}{6}=\tfrac{n-6}{6}.
  • Substituindo em S:
S=36\left(\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n}\cdot \tfrac{n-6}{6}+1\right).
  • Simplificando o fator 36\cdot\tfrac{1}{6}=6 obtemos a forma final conveniente (esta é a forma que facilita checar casos e é prática em prova).

Resposta

S=6(n-6)\left(\dfrac{7}{6}\right)^{n}+36

Exercícios relacionados