Calcule o valor da soma
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular a soma
- Podemos escrever isso de forma compacta como
- Aqui
é um inteiro positivo (assume-se ) e a base geométrica é .
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda) — por que isso funciona e por onde vamos andar.
- Note que a soma envolve termos do tipo
. Uma ferramenta muito eficiente para somas assim é relacioná-las à soma geométrica simples
porque a derivada de
com respeito a
produz os fatores
:
já que o termo
é zero. Como
é finito, diferenciar termo a termo é totalmente válido (não estamos em série infinita).
- Assim basta pôr
no resultado de .
Passo 3
Calcular
e aplicar a derivada.
- Escrevemos
- Aplicando a regra do quociente
com e , obtemos
Passo 4
Simplificar o numerador do resultado da derivada.
- Expandindo o numerador:
- Agrupando termos semelhantes:
logo o numerador fica
- Portanto, para todo
,
Passo 5
Substituir
e reescrever de forma mais confortável (ainda sem apresentar a resposta final isolada).
- Tomando
temos
- Como
, o denominador é . Assim
- Podemos fatorar
dentro do parêntese para simplificar ainda mais:
Passo 6
Simplificar algebricamente para obter uma forma compacta e prática para uso em prova.
- Calcule o coeficiente dentro do parêntese:
- Substituindo em
:
- Simplificando o fator
obtemos a forma final conveniente (esta é a forma que facilita checar casos e é prática em prova).