Resolva:
Seja a=111 \ldots 1 ( n dígitos iguais a 1 ) e b=1000 \ldots 05 ( n-1 dígitos iguais a 0 ). Prove que a b+1 é um quadrado perfeito e determine sua raiz quadrada.
Passo 1
O enunciado dá duas informações numéricas e pergunta duas coisas claras:
Dados:
a é o inteiro formado por n dígitos iguais a 1 (ou seja, a=111\ldots1, com n uns).
b é o inteiro cujo primeiro dígito é 1, depois vêm n-1 zeros e o último dígito é 5 (ou seja, b=1\underbrace{00\ldots0}_{n-1}5).
Pedidos:
Provar que ab+1 é um quadrado perfeito.
Determinar a raiz quadrada de ab+1.
As próximas etapas vão traduzir a e b em fórmulas algébricas e mostrar passo a passo a identidade que prova as duas afirmações.
Passo 2
Expressar a como soma geométrica (fórmula do número formado por n uns).
O número a é
a = 1+10+10^{2}+\cdots+10^{\,n-1}.
Isso é uma soma geométrica com razão r=10 e n termos. A fórmula da soma de uma progressão geométrica é: para r\neq1,
1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}.
Aplicando com r=10 obtemos
a=\frac{10^{n}-1}{10-1}=\frac{10^{n}-1}{9}.
(Exemplo numérico: para n=3, a=111=\dfrac{10^{3}-1}{9}=\dfrac{999}{9}=111.)
Passo 3
Expressar b por notação posicional.
O número b tem um 1 na casa 10^{n} (porque há n-1 zeros entre o 1 e o último algarismo) e tem um 5 na casa das unidades, logo
b=10^{n}+5.
(Exemplo numérico: para n=2, b=105=10^{2}+5.)
Passo 4
Calcular ab+1 com as expressões algébricas e mostrar que é um quadrado perfeito.