Resolva:
Seja a=111 \ldots 1 ( n dígitos iguais a 1 ) e b=1000 \ldots 05 ( n-1 dígitos iguais a 0 ). Prove que a b+1 é um quadrado perfeito e determine sua raiz quadrada.

Passo 1

O enunciado dá duas informações numéricas e pergunta duas coisas claras:
  • Dados:
    • a é o inteiro formado por n dígitos iguais a 1 (ou seja, a=111\ldots1, com n uns).
    • b é o inteiro cujo primeiro dígito é 1, depois vêm n-1 zeros e o último dígito é 5 (ou seja, b=1\underbrace{00\ldots0}_{n-1}5).
  • Pedidos:
    1. Provar que ab+1 é um quadrado perfeito.
    2. Determinar a raiz quadrada de ab+1.
As próximas etapas vão traduzir a e b em fórmulas algébricas e mostrar passo a passo a identidade que prova as duas afirmações.

Passo 2

Expressar a como soma geométrica (fórmula do número formado por n uns).
O número a é
a = 1+10+10^{2}+\cdots+10^{\,n-1}.
Isso é uma soma geométrica com razão r=10 e n termos. A fórmula da soma de uma progressão geométrica é: para r\neq1,
1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}.
Aplicando com r=10 obtemos
a=\frac{10^{n}-1}{10-1}=\frac{10^{n}-1}{9}.
(Exemplo numérico: para n=3, a=111=\dfrac{10^{3}-1}{9}=\dfrac{999}{9}=111.)

Passo 3

Expressar b por notação posicional.
O número b tem um 1 na casa 10^{n} (porque há n-1 zeros entre o 1 e o último algarismo) e tem um 5 na casa das unidades, logo
b=10^{n}+5.
(Exemplo numérico: para n=2, b=105=10^{2}+5.)

Passo 4

Calcular ab+1 com as expressões algébricas e mostrar que é um quadrado perfeito.
Substituindo as fórmulas encontradas:
ab+1=\frac{10^{n}-1}{9}\bigl(10^{n}+5\bigr)+1.
Multiplicando no numerador:
(10^{n}-1)(10^{n}+5)=10^{2n}+5\cdot10^{n}-10^{n}-5=10^{2n}+4\cdot10^{n}-5.
Portanto
ab+1=\frac{10^{2n}+4\cdot10^{n}-5}{9}+1.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
ab+1=\frac{10^{2n}+4\cdot10^{n}-5+9}{9}=\frac{10^{2n}+4\cdot10^{n}+4}{9}.
Repare que o numerador é exatamente o quadrado
(10^{n}+2)^{2}=10^{2n}+2\cdot2\cdot10^{n}+2^{2}=10^{2n}+4\cdot10^{n}+4.
Logo
ab+1=\frac{(10^{n}+2)^{2}}{9}=\left(\frac{10^{n}+2}{3}\right)^{2}.
Assim ab+1 é um quadrado perfeito e sua raiz positiva é \dfrac{10^{n}+2}{3}.

Passo 5

Comentários finais e verificação por exemplos rápidos (para dar confiança).
  • Para n=1: a=1, b=15, ab+1=16=4^{2} e \dfrac{10^{1}+2}{3}=\dfrac{12}{3}=4.
  • Para n=2: a=11, b=105, ab+1=1156=34^{2} e \dfrac{10^{2}+2}{3}=\dfrac{102}{3}=34.
  • Para n=3: a=111, b=1005, ab+1=111556=334^{2} e \dfrac{10^{3}+2}{3}=\dfrac{1002}{3}=334.
Tudo bate com a fórmula encontrada.

Resposta

\dfrac{10^{n}+2}{3}

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