Questão 42 (UFC). Considere a sequência a_{n}, na qual o produto a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{n}=2^{n} \cdot n!.
Encontre a soma dos 25 termos iniciais de a_{n}.

Passo 1

O enunciado dá que a sequência \{a_n\} satisfaz, para todo n\ge1, a igualdade do produto dos primeiros n termos:
\prod_{k=1}^{n} a_k = 2^{n}\cdot n!.
O que se pede: encontrar a soma dos 25 primeiros termos, ou seja calcular
\sum_{k=1}^{25} a_k.
Informações úteis fornecidas:
  • Para cada n está dado o produto \prod_{k=1}^{n} a_k.
  • Quer-se a soma dos primeiros 25 termos da sequência.

Passo 2

Estratégia para obter cada termo a_n: quando se conhece o produto até n e até n-1, pode-se obter a_n dividindo esses dois produtos. Explico por que isso funciona:
Se \displaystyle P_n=\prod_{k=1}^{n} a_k e \displaystyle P_{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1} a_k, então
a_n = \frac{P_n}{P_{n-1}},
porque P_n = P_{n-1}\cdot a_n. Aqui P_n e P_{n-1} são os produtos dados no enunciado (com n e n-1 respectivamente).

Passo 3

Aplicando a razão com os produtos que o enunciado dá, temos:
P_n = 2^{n}\cdot n! \quad\text{e}\quad P_{n-1} = 2^{\,n-1}\cdot (n-1)!.
Então
a_n = \frac{P_n}{P_{n-1}} = \frac{2^{n}\cdot n!}{2^{\,n-1}\cdot (n-1)!}.
Agora uso propriedades básicas de potências e fatoriais:
  • \dfrac{2^{n}}{2^{\,n-1}} = 2.
  • \dfrac{n!}{(n-1)!} = n.
    Portanto
a_n = 2\cdot n.
Isto vale para todo n\ge1. (Verificação rápida: para n=1, a_1=2\cdot1=2 e o produto \prod_{k=1}^1 a_k =2 =2^{1}\cdot1!, conforme dado.)

Passo 4

Agora que sabemos explicitamente cada termo, a soma pedida é
\sum_{k=1}^{25} a_k = \sum_{k=1}^{25} 2k = 2\sum_{k=1}^{25} k.
Preciso usar a fórmula da soma dos primeiros n naturais. Explicando essa fórmula:
  • A soma dos inteiros de 1 a n é \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
    Essa fórmula pode ser lembrada como emparelhamento: 1+n, 2+(n-1),\dots n/2 pares (ou pela demonstração de Gauss).
Aplicando com n=25,
\sum_{k=1}^{25} k = \frac{25\cdot26}{2}.

Passo 5

Substituindo na soma original:
\sum_{k=1}^{25} a_k = 2\cdot \frac{25\cdot26}{2} = 25\cdot26.
Deixei a simplificação final para a seção de resposta.

Resposta

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