Questão 42 (UFC). Considere a sequência
, na qual o produto
.
Encontre a soma dos 25 termos iniciais de
.
Encontre a soma dos 25 termos iniciais de
Passo 1
O enunciado dá que a sequência
satisfaz, para todo
, a igualdade do produto dos primeiros
termos:
O que se pede: encontrar a soma dos
primeiros termos, ou seja calcular
Informações úteis fornecidas:
- Para cada
está dado o produto . - Quer-se a soma dos primeiros
termos da sequência.
Passo 2
Estratégia para obter cada termo
: quando se conhece o produto até
e até
, pode-se obter
dividindo esses dois produtos. Explico por que isso funciona:
Se
e
, então
porque
. Aqui
e
são os produtos dados no enunciado (com
e
respectivamente).
Passo 3
Aplicando a razão com os produtos que o enunciado dá, temos:
Então
Agora uso propriedades básicas de potências e fatoriais:
-
. -
.
Portanto
Isto vale para todo
. (Verificação rápida: para
,
e o produto
, conforme dado.)
Passo 4
Agora que sabemos explicitamente cada termo, a soma pedida é
Preciso usar a fórmula da soma dos primeiros
naturais. Explicando essa fórmula:
- A soma dos inteiros de
a é .
Essa fórmula pode ser lembrada como emparelhamento:há pares (ou pela demonstração de Gauss).
Aplicando com
,
Passo 5
Substituindo na soma original:
Deixei a simplificação final para a seção de resposta.
Resposta
650