Calcule as somas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a soma
Informações dadas: somar os quadrados dos inteiros de
até
. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Método direto (listar os termos e somar). Primeiro calculo cada quadrado:
Agora somo passo a passo:
Portanto, pela soma direta obtemos
.
Passo 3
Apresento uma fórmula geral que serve para somar rapidamente quadrados quando há muitos termos:
Explicando cada coisa:
é o índice da soma (vai de
até
);
é o número de termos (aqui,
). Essa fórmula evita somar termo a termo quando
é grande.
Passo 4
Verificação rápida com um caso pequeno (para ficar mais concreto): se
então a fórmula dá
que bate com
. Isso mostra a fórmula funciona nesse exemplo.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso
:
Calculo cada fator:
Logo
Posso simplificar o
do numerador com o denominador
, ficando
Isso confirma o resultado da soma direta.
Passo 6
Rápida justificativa da fórmula (prova por indução) — útil para entender por que dá certo:
Base :
e a fórmula dá
. Agora suponha que para algum
vale
Base
Então
Coloco em evidência
:
Fatorando
como
, obtemos
que é exatamente a fórmula com
. Assim a fórmula vale para todo
por indução.