Calcule as somas a seguir:
\sum_{i=1}^{5} i^{2}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a soma
\sum_{i=1}^{5} i^{2}.
Informações dadas: somar os quadrados dos inteiros de i=1 até i=5. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Método direto (listar os termos e somar). Primeiro calculo cada quadrado:
1^2 = 1,\quad 2^2 = 4,\quad 3^2 = 9,\quad 4^2 = 16,\quad 5^2 = 25.
Agora somo passo a passo:
1+4 = 5,
5+9 = 14,
14+16 = 30,
30+25 = 55.
Portanto, pela soma direta obtemos 55.

Passo 3

Apresento uma fórmula geral que serve para somar rapidamente quadrados quando há muitos termos:
\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Explicando cada coisa: i é o índice da soma (vai de 1 até n); n é o número de termos (aqui, n=5). Essa fórmula evita somar termo a termo quando n é grande.

Passo 4

Verificação rápida com um caso pequeno (para ficar mais concreto): se n=3 então a fórmula dá
\frac{3\cdot 4\cdot 7}{6}=\frac{84}{6}=14,
que bate com 1^2+2^2+3^2=1+4+9=14. Isso mostra a fórmula funciona nesse exemplo.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso n=5:
\sum_{i=1}^{5} i^{2} = \frac{5\cdot(5+1)\cdot(2\cdot 5+1)}{6}.
Calculo cada fator:
5+1=6,\quad 2\cdot 5+1=11.
Logo
\frac{5\cdot 6\cdot 11}{6}.
Posso simplificar o 6 do numerador com o denominador 6, ficando
5\cdot 11 = 55.
Isso confirma o resultado da soma direta.

Passo 6

Rápida justificativa da fórmula (prova por indução) — útil para entender por que dá certo:
Base n=1: \sum_{i=1}^{1} i^{2}=1 e a fórmula dá \frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1. Agora suponha que para algum k vale
\sum_{i=1}^{k} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.
Então
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2.
Coloco em evidência (k+1):
(k+1)\left(\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\right) = (k+1)\frac{2k^2+7k+6}{6}.
Fatorando 2k^2+7k+6 como (k+2)(2k+3), obtemos
\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6},
que é exatamente a fórmula com n=k+1. Assim a fórmula vale para todo n por indução.

Resposta

55

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