Calcule as somas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma dupla
Informações dadas:
- A soma externa tem índice
variando de até . - A soma interna tem índice
variando de até . - O termo somado é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa soma dupla.
Passo 2
Vamos primeiro entender o que é uma soma dupla e uma estratégia prática para calculá‑la. Uma soma dupla
significa: para cada valor de
calcule a soma em
de
, e depois some esses resultados sobre
. Uma propriedade útil (linearidade das somas) é:
quando
é constante em relação a
. Também vale que somar uma constante
por
termos dá
. Vamos aplicar isso à soma interna
.
Passo 3
Calcule a soma interna usando linearidade. Para um
fixo:
Aqui
porque
é constante quando somamos sobre
. E
Logo, para cada
temos
Passo 4
Agora fazemos a soma externa substituindo o resultado da interna:
Usamos novamente linearidade para separar:
Expliquei:
é simplesmente o número de termos, que é
. E a soma dos inteiros de
a
tem a fórmula
que pode ser vista juntando termos simétricos
. Para
isso dá
.
Passo 5
Avalie os números:
Portanto
Como verificação alternativa, podemos calcular termo a termo: para
a soma interna é
; para
é
; para
é
. Somando
, confirma o resultado.