Calcule as somas a seguir:
\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2}(i-j)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dupla
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(i-j).
Informações dadas:
  • A soma externa tem índice i variando de 1 até 3.
  • A soma interna tem índice j variando de 1 até 2.
  • O termo somado é (i-j).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa soma dupla.

Passo 2

Vamos primeiro entender o que é uma soma dupla e uma estratégia prática para calculá‑la. Uma soma dupla \sum_{i}\sum_{j} a_{i,j} significa: para cada valor de i calcule a soma em j de a_{i,j}, e depois some esses resultados sobre i. Uma propriedade útil (linearidade das somas) é:
\sum_{j}(A - B_j)=\sum_{j}A - \sum_{j}B_j,
quando A é constante em relação a j. Também vale que somar uma constante c por n termos dá c\cdot n. Vamos aplicar isso à soma interna \sum_{j=1}^{2}(i-j).

Passo 3

Calcule a soma interna usando linearidade. Para um i fixo:
\sum_{j=1}^{2}(i-j)=\sum_{j=1}^{2}i - \sum_{j=1}^{2}j.
Aqui \sum_{j=1}^{2}i = i + i = 2i porque i é constante quando somamos sobre j. E
\sum_{j=1}^{2} j = 1 + 2 = 3.
Logo, para cada i temos
\sum_{j=1}^{2}(i-j)=2i-3.

Passo 4

Agora fazemos a soma externa substituindo o resultado da interna:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(i-j)=\sum_{i=1}^{3}(2i-3).
Usamos novamente linearidade para separar:
\sum_{i=1}^{3}(2i-3)=2\sum_{i=1}^{3}i - 3\sum_{i=1}^{3}1.
Expliquei: \sum_{i=1}^{3}1 é simplesmente o número de termos, que é 3. E a soma dos inteiros de 1 a n tem a fórmula
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2},
que pode ser vista juntando termos simétricos 1+n,2+(n-1),\dots. Para n=3 isso dá \frac{3\cdot4}{2}=6.

Passo 5

Avalie os números:
\sum_{i=1}^{3}i=6,\qquad \sum_{i=1}^{3}1=3.
Portanto
2\sum_{i=1}^{3}i - 3\sum_{i=1}^{3}1 = 2\cdot6 - 3\cdot3 = 12 - 9 = 3.
Como verificação alternativa, podemos calcular termo a termo: para i=1 a soma interna é 2\cdot1-3=-1; para i=2 é 2\cdot2-3=1; para i=3 é 2\cdot3-3=3. Somando -1+1+3=3, confirma o resultado.

Resposta

3

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