Calcule os somatórios abaixo, considerando:
x_{1}=2 x_{2}=4 x_{3}=6 x_{4}=8 e x_{5}=10
y_{1}=0 ; y_{2}=3 ; y_{3}=7 ; y_{4}=11 ; y_{5}=1
\quad\left(\sum x_{i}\right)^{2}-\sum x_{i}{ }^{2}

Passo 1

O enunciado dá os vetores (peguei estes valores do enunciado):
  • x_{1}=2, x_{2}=4, x_{3}=6, x_{4}=8, x_{5}=10.
  • y_{1}=0, y_{2}=3, y_{3}=7, y_{4}=11, y_{5}=1. (esses y_{i} foram informados no enunciado, mas não são necessários para calcular a expressão pedida)
A pergunta é calcular a expressão
\left(\sum x_{i}\right)^{2}-\sum x_{i}^{2}.

Passo 2

Vamos entender a identidade algébrica que facilita o cálculo. Seja S=\sum_{i=1}^{n} x_{i}. Expandindo o quadrado da soma:
S^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2\sum_{1\le i<j\le n} x_{i}x_{j}.
Explicando: ao multiplicar \left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right) por si mesmo, surgem dois tipos de termos:
  • os termos x_{i}^{2} quando um x_{i} é multiplicado por ele mesmo;
  • os termos 2x_{i}x_{j} (o fator 2 aparece porque x_{i}x_{j} e x_{j}x_{i} são dois termos iguais) para cada par distinto i\neq j.
Rearranjando a identidade:
\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=2\sum_{1\le i<j\le n} x_{i}x_{j}.
Ou seja, a expressão pedida é duas vezes a soma dos produtos de todos os pares distintos de x_{i}. Vou calcular pelo caminho direto do lado esquerdo (somar e elevar ao quadrado e subtrair a soma dos quadrados), que é mais rápido aqui.

Passo 3

Calcular a soma dos x_{i}:
\sum_{i=1}^{5} x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2+4+6+8+10.
Fazendo as contas passo a passo:
2+4=6,\qquad 6+6=12,\qquad 12+8=20,\qquad 20+10=30.
Logo
\sum_{i=1}^{5} x_{i}=30.
Elevar ao quadrado:
\left(\sum_{i=1}^{5} x_{i}\right)^{2}=30^{2}=900.

Passo 4

Calcular a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}.
Calcular cada quadrado:
x_{1}^{2}=2^{2}=4,\quad x_{2}^{2}=4^{2}=16,\quad x_{3}^{2}=6^{2}=36,\quad x_{4}^{2}=8^{2}=64,\quad x_{5}^{2}=10^{2}=100.
Somando:
4+16=20,\qquad 20+36=56,\qquad 56+64=120,\qquad 120+100=220.
Portanto
\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=220.

Passo 5

Agora calculamos a expressão pedida:
\left(\sum_{i=1}^{5} x_{i}\right)^{2}-\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=900-220=680.
Como verificação extra (opcional), pela identidade do Passo 2 isso deveria ser igual a 2\sum_{i<j}x_{i}x_{j}. Então \sum_{i<j}x_{i}x_{j}=680/2=340. Se alguém quisesse, dá para somar os produtos par a par (por exemplo, 2\cdot4+2\cdot6+\cdots+8\cdot10) e obter 340, confirmando o resultado.

Resposta

680

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