Calcule os somatórios abaixo, considerando:
e
Passo 1
O enunciado dá os vetores (peguei estes valores do enunciado):
-
, , , , . -
, , , , . (esses foram informados no enunciado, mas não são necessários para calcular a expressão pedida)
A pergunta é calcular a expressão
Passo 2
Vamos entender a identidade algébrica que facilita o cálculo. Seja
. Expandindo o quadrado da soma:
Explicando: ao multiplicar
por si mesmo, surgem dois tipos de termos:
- os termos
quando um é multiplicado por ele mesmo; - os termos
(o fator aparece porque e são dois termos iguais) para cada par distinto .
Rearranjando a identidade:
Ou seja, a expressão pedida é duas vezes a soma dos produtos de todos os pares distintos de
. Vou calcular pelo caminho direto do lado esquerdo (somar e elevar ao quadrado e subtrair a soma dos quadrados), que é mais rápido aqui.
Passo 3
Calcular a soma dos
:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo
Elevar ao quadrado:
Passo 4
Calcular a soma dos quadrados:
Calcular cada quadrado:
Somando:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos a expressão pedida:
Como verificação extra (opcional), pela identidade do Passo 2 isso deveria ser igual a
. Então
. Se alguém quisesse, dá para somar os produtos par a par (por exemplo,
) e obter
, confirmando o resultado.