Calcule, por substituição, as integrais abaixo:
\int x 2^{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por substituição
\int x\,2^{\,x^{2}+1}\,dx
O conteúdo é integração de função exponencial, e vamos usar a substituição u = x^{2}+1.

Passo 2

Definimos
u = x^{2} + 1
e então
du = 2x\,dx
Logo \displaystyle x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int x\,2^{\,x^{2}+1}\,dx = \int 2^{\,u}\,\Bigl(\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = \tfrac{1}{2}\,\int 2^{\,u}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int 2^{\,u}\,du = \frac{2^{\,u}}{\ln 2} + C.
Portanto
\tfrac{1}{2}\,\int 2^{\,u}\,du = \tfrac{1}{2}\,\frac{2^{\,u}}{\ln 2} + C = \frac{2^{\,u}}{2\,\ln 2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x^{2}+1, obtemos
\frac{2^{\,u}}{2\,\ln 2} + C = \frac{2^{\,x^{2}+1}}{2\,\ln 2} + C = \frac{2^{\,x^{2}}}{\ln 2} + C.

Resposta

\int x\,2^{\,x^{2}+1}\,dx = \frac{2^{\,x^{2}}}{\ln 2} + C.

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