Determine \int_{0}^{5} f(x, y) d x \mathrm{e} \int_{0}^{1} f(x, y) d y.
2 f(x, y)=y+x e^{y}

Passo 1

O enunciado pede duas integrais de uma função de duas variáveis
2\,f(x,y)=y + x\,e^{y}
ou seja
f(x,y)=\frac{y + x\,e^{y}}{2}.
O que vamos usar aqui é que, ao integrar em x, tratamos y como constante, e ao integrar em y, tratamos x como constante.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int_{0}^{5} f(x,y)\,\mathrm{d}x.
Substituindo f,
\int_{0}^{5} f(x,y)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{5}\frac{y + x\,e^{y}}{2}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\int_{0}^{5}\bigl(y + x\,e^{y}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Como y e e^{y} são constantes em relação a x,
\frac{1}{2}\Bigl[y\,x + e^{y}\,\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{5} =\frac{1}{2}\Bigl(5y + e^{y}\,\frac{25}{2}\Bigr) =\frac{5y}{2} + \frac{25\,e^{y}}{4}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} f(x,y)\,\mathrm{d}y.
Substituindo f,
\int_{0}^{1} f(x,y)\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{1}\frac{y + x\,e^{y}}{2}\,\mathrm{d}y =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(y + x\,e^{y}\bigr)\,\mathrm{d}y.
Agora x é constante em relação a y, então
\frac{1}{2}\Bigl[\frac{y^{2}}{2} + x\,e^{y}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2} + x\,e - 0 - x\Bigr) =\frac{1}{4} + \frac{x\,(e-1)}{2}.

Resposta

\int_{0}^{5} f(x,y)\,\mathrm{d}x =\frac{5y}{2} + \frac{25\,e^{y}}{4},
\int_{0}^{1} f(x,y)\,\mathrm{d}y =\frac{1}{4} + \frac{x\,(e-1)}{2}.

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