Calcule, por substituição, as integrais abaixo:
integral(e^2 x+5)^3 e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular por substituição a integral
integral l(e^2x+5r)^3,e^2x,dx
O conteúdo aqui é a técnica de substituição, que consiste em identificar uma parte da integral cuja derivada também aparece nela, invertendo a regra da cadeia.

Passo 2

Faça a mudança de variável
u = e^2x + 5
Então, diferenciando, obtém-se
du = 2,e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral l(e^2x+5r)^3,e^2x,dx = integral u^3,du2 = 12,integral u^3,du
Agora basta integrar em u:
12,integral u^3,du = 12,cdot u^44 = u^48 + C
Voltando à variável x, fica
l(e^2x+5r)^48 + C

Resposta

boxedl(e^2x+5r)^48 + C

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