1. Dada a função
f(x)=cc x+2 c, & x<-2 3 c x+k, & -2 <= x <= 1 3 x-2 k, & x>1
ache os valores de c e k, de modo que ela seja contínua em -2 e em 1 . Para os valores de c e k encontrados, a função é contínua em todos os reais?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função por partes
f(x)= x+2c, & x< -2, 3c,x + k, & -2 <= x <= 1, 3x - 2k, & x>1,
e pede para achar c e k de modo que f seja contínua em x=-2 e em x=1. Vamos usar a definição de continuidade em ponto de junção de pedaços: igualar os limites laterais.

Passo 2

Para x=-2, a continuidade exige
limxto -2^-f(x)=limxto -2^+f(x)
Do lado esquerdo temos
limxto -2^-f(x) = (-2) + 2c = -2 + 2c,
e do lado direito (pedaço do meio)
limxto -2^+f(x) = 3ccdot(-2) + k = -6c + k
Logo a primeira equação é
-2 + 2c = -6c + k Longrightarrow k = -2 + 8c

Passo 3

Para x=1, exigimos
limxto 1^-f(x)=limxto 1^+f(x)
Do lado esquerdo (pedaço do meio)
limxto 1^-f(x) = 3ccdot1 + k = 3c + k,
e do lado direito
limxto 1^+f(x) = 3cdot1 - 2k = 3 - 2k
Isso dá a segunda equação
3c + k = 3 - 2k Longrightarrow 3c + 3k = 3 Longrightarrow k = 1 - c

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
k = -2 + 8c, k = 1 - c
Igualando as expressões de k:
-2 + 8c = 1 - c Longrightarrow 9c = 3 Longrightarrow c = tfrac13
Substituindo em k=1-c:
k = 1 - tfrac13 = tfrac23

Passo 5

Como cada trecho é uma reta (função contínua) e só havia possíveis descontinuidades em x=-2 e x=1, e garantimos continuidade nesses pontos, concluímos que, para c=tfrac13 e k=tfrac23, f é contínua em todo R.

Resposta

c=tfrac13, k=tfrac23.
Sim, para esses valores f é contínua em todos os reais.

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