Calcule
Sugestão: Pode ser útil fazer a mudança de variável
.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede calcular o limite
- O enunciado sugere a mudança de variável
. Essa sugestão está lá para simplificar as potências fracionárias que aparecem na raiz quadrada e na raiz cúbica.
Passo 2
Fazer a mudança de variável proposta e entender o que acontece com o limite.
- Defino a nova variável por
- Quando
temos , logo e, tomando a raiz sexta, . Ou seja, a nova variável tende para . - Agora reescrevo as partes que aparecem no numerador e denominador em termos de
:
- Substituindo na expressão do limite, obtenho que o limite em
se transforma no limite em :
Passo 3
Explicar e aplicar a fatoração das potências para simplificar a expressão em
.
- Lembrete útil: para qualquer
vale a identidade de fatoração
- Aplicando para
:
- Aplicando para
:
- Substituo essas fatorações na fração:
- Como estamos calculando um limite e avaliando para
(e para o fator não é zero), podemos simplificar cancelando o fator comum :
Passo 4
Avaliar o limite da expressão simplificada.
- A função
é contínua em (o denominador em é ), portanto podemos simplesmente substituir no quociente para obter o limite:
Passo 5
Recapitulando o raciocínio (curto):
- Usei a mudança
para transformar raízes em potências inteiras: , . - A expressão virou
, que foi fatorada e simplificada para . - Avaliando em
obtém-se .