Calcule
Sugestão: Pode ser útil fazer a mudança de variável 1+x=u^{6}.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}.
  • O enunciado sugere a mudança de variável 1+x=u^{6}. Essa sugestão está lá para simplificar as potências fracionárias que aparecem na raiz quadrada e na raiz cúbica.

Passo 2

Fazer a mudança de variável proposta e entender o que acontece com o limite.
  • Defino a nova variável por
1+x = u^{6}.
  • Quando x\to 0 temos 1+x\to 1, logo u^{6}\to 1 e, tomando a raiz sexta, u\to 1. Ou seja, a nova variável u tende para 1.
  • Agora reescrevo as partes que aparecem no numerador e denominador em termos de u:
\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}=(u^{6})^{1/2}=u^{3}, \qquad \sqrt[3]{1+x}=(1+x)^{1/3}=(u^{6})^{1/3}=u^{2}.
  • Substituindo na expressão do limite, obtenho que o limite em x se transforma no limite em u:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} = \lim_{u\to 1}\frac{u^{3}-1}{u^{2}-1}.

Passo 3

Explicar e aplicar a fatoração das potências para simplificar a expressão em u.
  • Lembrete útil: para qualquer u vale a identidade de fatoração
u^{n}-1=(u-1)\bigl(u^{n-1}+u^{n-2}+\cdots+u+1\bigr).
  • Aplicando para n=3:
u^{3}-1=(u-1)(u^{2}+u+1).
  • Aplicando para n=2:
u^{2}-1=(u-1)(u+1).
  • Substituo essas fatorações na fração:
\frac{u^{3}-1}{u^{2}-1} = \frac{(u-1)(u^{2}+u+1)}{(u-1)(u+1)}.
  • Como estamos calculando um limite e avaliando para u\to 1 (e para u\neq 1 o fator u-1 não é zero), podemos simplificar cancelando o fator comum u-1:
\frac{u^{3}-1}{u^{2}-1}=\frac{u^{2}+u+1}{u+1}\qquad\text{(para \(u\neq 1\))}.

Passo 4

Avaliar o limite da expressão simplificada.
  • A função \dfrac{u^{2}+u+1}{u+1} é contínua em u=1 (o denominador em u=1 é 2\neq 0), portanto podemos simplesmente substituir u=1 no quociente para obter o limite:
\lim_{u\to 1}\frac{u^{2}+u+1}{u+1}=\frac{1^{2}+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Recapitulando o raciocínio (curto):
  • Usei a mudança 1+x=u^{6} para transformar raízes em potências inteiras: \sqrt{1+x}=u^{3}, \sqrt[3]{1+x}=u^{2}.
  • A expressão virou \dfrac{u^{3}-1}{u^{2}-1}, que foi fatorada e simplificada para \dfrac{u^{2}+u+1}{u+1}.
  • Avaliando em u=1 obtém-se \dfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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