Questão 1
(9 pontos)
Considere a equação:
(a) Encontre a solução geral da equação.
(b) Encontre a solução que satisfaz
.
Considere a equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) encontrar a solução geral da equação;
- (b) encontrar a solução particular que satisfaz
.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
. - A equação envolve o termo
, logo é ponto singular (não dá para dividir por em ). Portanto a manipulação a seguir vale para . - A condição inicial para a parte (b) está em
, que é positivo, então podemos trabalhar no intervalo de .
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem.
Primeiro dividimos a equação por
(válido para
):
Aqui estou usando a notação
. Agora identifique as funções que aparecem na forma padrão
Comparando, temos
Explicando a estratégia (curta aula): para uma equação linear de 1ª ordem
usamos um fator integrante
que satisfaz
. Multiplicando a equação por
obtemos que o lado esquerdo vira a derivada
, o que facilita integrar e achar
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
Por definição,
Calcule a integral:
Como estamos construindo um fator integrante podemos desprezar a constante aditiva (multiplicar
por uma constante não altera o método). Assim escolhemos
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar no ramo
e escrever
(Nos intervalos negativos usar-se-ia
, mas a constante multiplicativa não altera a solução geral; aqui foco em
pela condição dada.)
Passo 4
Multiplicar a equação por
e reconhecer uma derivada exata.
Multiplicando
por
obtemos
Pela escolha de
temos
, logo o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
No nosso caso
e
, então
Passo 5
Integrar ambos os lados e resolver para
.
Integramos em
:
O lado esquerdo integra para
. Agora calcule a integral do lado direito. Fazer por partes ou lembrar a primitiva:
onde
é constante de integração. Portanto
Agora isole
:
Simplificando
, obtemos a solução geral (válida para
, especialmente para
):
Breve palavra didática: o termo
é a parte homogênea (solução da equação homogênea associada) e
é uma solução particular de atenção. Na prova, ao ver uma equação linear you use esse procedimento: dividir para colocar na forma padrão, achar
, multiplicar, integrar e isolar.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Substitua
na expressão geral:
Calcule
. Assim
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplique ambos os lados por
(não zero):
Logo
e portanto
.
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular:
Pode também escrever como
Resposta
(a)
(b)