Questão 1

(9 pontos)
Considere a equação:
t y^{\prime}+(t+1) y=t
(a) Encontre a solução geral da equação.
(b) Encontre a solução que satisfaz y(\ln 2)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t\,y'(t)+(t+1)\,y(t)=t
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar a solução geral da equação;
  • (b) encontrar a solução particular que satisfaz \,y(\ln 2)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é t.
  • A equação envolve o termo t\,y', logo t=0 é ponto singular (não dá para dividir por t em t=0). Portanto a manipulação a seguir vale para t\neq0.
  • A condição inicial para a parte (b) está em t=\ln 2, que é positivo, então podemos trabalhar no intervalo de t>0.

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem.
Primeiro dividimos a equação por t (válido para t\neq0):
y'(t)+\frac{t+1}{t}\,y(t)=1.
Aqui estou usando a notação y'=\dfrac{dy}{dt}. Agora identifique as funções que aparecem na forma padrão
y'+p(t)\,y=q(t).
Comparando, temos
p(t)=\frac{t+1}{t}=1+\frac{1}{t}, \qquad q(t)=1.
Explicando a estratégia (curta aula): para uma equação linear de 1ª ordem y'+p(t)y=q(t) usamos um fator integrante \mu(t) que satisfaz \mu'(t)=\mu(t)p(t). Multiplicando a equação por \mu obtemos que o lado esquerdo vira a derivada (\mu y)', o que facilita integrar e achar y. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
Por definição,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int\Big(1+\frac{1}{t}\Big)\,dt\right).
Calcule a integral:
\int\Big(1+\frac{1}{t}\Big)\,dt=\int 1\,dt+\int\frac{1}{t}\,dt=t+\ln|t|+C_0.
Como estamos construindo um fator integrante podemos desprezar a constante aditiva (multiplicar \mu por uma constante não altera o método). Assim escolhemos
\mu(t)=\exp\!\big(t+\ln|t|\big)=e^{t}\,|t|.
Como a condição inicial está em t=\ln 2>0, podemos trabalhar no ramo t>0 e escrever
\mu(t)=t\,e^{t}\qquad (t>0).
(Nos intervalos negativos usar-se-ia \mu(t)=-t e^{t}, mas a constante multiplicativa não altera a solução geral; aqui foco em t>0 pela condição dada.)

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(t) e reconhecer uma derivada exata.
Multiplicando y'+p(t)y=q(t) por \mu obtemos
\mu y'+\mu p\,y=\mu q.
Pela escolha de \mu temos \mu'=\mu p, logo o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
(\mu(t)\,y(t))'=\mu(t)\,q(t).
No nosso caso \mu(t)=t e^{t} e q(t)=1, então
\big(t e^{t} y(t)\big)'=t e^{t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados e resolver para y(t).
Integramos em t:
\int \big(t e^{t} y(t)\big)' \,dt = \int t e^{t}\,dt.
O lado esquerdo integra para t e^{t} y(t). Agora calcule a integral do lado direito. Fazer por partes ou lembrar a primitiva:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t}+C,
onde C é constante de integração. Portanto
t e^{t} y(t) = (t-1)e^{t}+C.
Agora isole y(t):
y(t)=\frac{(t-1)e^{t}+C}{t e^{t}}=\frac{t-1}{t}+\frac{C}{t e^{t}}.
Simplificando \dfrac{t-1}{t}=1-\dfrac{1}{t}, obtemos a solução geral (válida para t\neq0, especialmente para t>0):
\boxed{\,y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{C}{t e^{t}},\quad C\in\mathbb{R}\,.}
Breve palavra didática: o termo \dfrac{C}{t e^{t}} é a parte homogênea (solução da equação homogênea associada) e 1-\dfrac{1}{t} é uma solução particular de atenção. Na prova, ao ver uma equação linear you use esse procedimento: dividir para colocar na forma padrão, achar \mu=\exp(\int p), multiplicar, integrar e isolar.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\ln 2)=1 para determinar C.
Substitua t=\ln 2 na expressão geral:
1=y(\ln 2)=1-\frac{1}{\ln 2}+\frac{C}{\ln 2\; e^{\ln 2}}.
Calcule e^{\ln 2}=2. Assim
1=1-\frac{1}{\ln 2}+\frac{C}{2\ln 2}.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
0=-\frac{1}{\ln 2}+\frac{C}{2\ln 2}.
Multiplique ambos os lados por \ln 2 (não zero):
0=-1+\frac{C}{2}.
Logo \dfrac{C}{2}=1 e portanto C=2.
Substituindo C=2 na solução geral obtemos a solução particular:
y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{2}{t e^{t}}.
Pode também escrever como
y(t)=1-\frac{1}{t}+\frac{2e^{-t}}{t}.

Resposta

(a) y(t)=1-\dfrac{1}{t}+\dfrac{C}{t e^{t}},\; C\in\mathbb{R}.
(b) y(t)=1-\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t e^{t}}.

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