Sejam k um inteiro positivo e a um número real.
(a) Mostre que \lim _{x \rightarrow a}\left(x^{k}-a^{k}\right)=0.
(c) Escrevendo x^{k}-a^{k}=\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}(x-a) para x \neq a, obtenha (a) a partir de (b).
(b) Mostre que \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}=k a^{k-1}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • k inteiro positivo;
  • a número real.
Pede-se três coisas:
  • (a) Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to a}\left(x^{k}-a^{k}\right)=0.
  • (b) Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}=k a^{k-1}.
  • (c) Usando a escrita x^{k}-a^{k}=\dfrac{x^{k}-a^{k}}{x-a}(x-a) para x\neq a, obter (a) a partir de (b).
Anotações úteis que serão usadas:
  • Leis de limites: se \lim_{x\to a}f(x)=L e \lim_{x\to a}g(x)=M existem finitos, então \lim_{x\to a}(f+g)=L+M, \lim_{x\to a}(fg)=LM e, se M\neq 0, \lim_{x\to a}\frac{f}{g}=\frac{L}{M}.
  • Para potências inteiras não-negativas, a propriedade \lim_{x\to a}x^{n}=a^{n} será usada (pode ser provada por indução).

Passo 2

Lema preparatório — limites de potências por indução (ferramenta que precisamos):
Queremos mostrar que, para todo inteiro n\ge 0,
\lim_{x\to a} x^{n}=a^{n}.
Prova por indução:
  • Base n=0: x^{0}=1 para todo x, logo \lim_{x\to a}x^{0}=1=a^{0}.
  • Passo indutivo: suponha \lim_{x\to a} x^{n}=a^{n}. Então
\lim_{x\to a} x^{n+1}=\lim_{x\to a} \big(x\cdot x^{n}\big).
Pelas leis de limites (produto), isso vale
\lim_{x\to a} x \cdot \lim_{x\to a} x^{n}=a\cdot a^{n}=a^{n+1}.
Assim a propriedade vale para n+1. Por indução é válida para todo n\ge 0.
Comentário prático: isto diz que polinômios são contínuos ponto a ponto; em particular monômios x^m têm limite simples.

Passo 3

Fórmula algébrica importante (identidade de fatoração):
Para x\neq a e inteiro k\ge 1,
x^{k}-a^{k}=(x-a)\sum_{j=0}^{k-1} x^{\,k-1-j}a^{\,j}.
Verificação rápida (multiplicando e vendo que telescopa):
(x-a)\sum_{j=0}^{k-1} x^{k-1-j}a^{j} = \sum_{j=0}^{k-1} x^{k-j}a^{j} - \sum_{j=0}^{k-1} x^{k-1-j}a^{j+1}.
Alinhando termos nota-se que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando x^{k}-a^{k}. Esta é a fatoração clássica (caso especial de soma geométrica).

Passo 4

Expressar o quociente que aparece em (b) usando a identidade:
Para x\neq a,
\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}=\sum_{j=0}^{k-1} x^{\,k-1-j}a^{\,j}.
Denote essa soma por S(x), isto é
S(x)=\sum_{j=0}^{k-1} x^{\,k-1-j}a^{\,j}.
Note que são exatamente k termos nessa soma.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a} usando as leis de limite e o Lema:
Cada termo da soma S(x) é do tipo x^{k-1-j}a^{j}. Para cada j\in\{0,\dots,k-1\},
pela propriedade de limites de potências:
\lim_{x\to a} x^{k-1-j}=a^{k-1-j}.
Multiplicando pela constante a^{j} (que não depende de x) e usando a lei do produto,
\lim_{x\to a} x^{k-1-j}a^{j}=a^{k-1-j}a^{j}=a^{k-1}.
Portanto cada um dos k termos tende a a^{k-1}. Aplicando a lei da soma de limites,
\lim_{x\to a} S(x)=\sum_{j=0}^{k-1}\lim_{x\to a} x^{k-1-j}a^{j}=\sum_{j=0}^{k-1} a^{k-1}=k\,a^{k-1}.
Isto prova (b):
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}=k a^{k-1}.}

Passo 6

Obter (a) a partir de (b) usando a fatoração (isso responde (c)):
Para x\neq a escreve-se
x^{k}-a^{k}=\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}\,(x-a).
Tomando limite quando x\to a e usando as leis de limite (produto), sabendo por (b) que o limite do quociente existe e é finito:
\lim_{x\to a}\big(x^{k}-a^{k}\big) =\left(\lim_{x\to a}\frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}\right)\!\left(\lim_{x\to a}(x-a)\right) =(k a^{k-1})\cdot 0=0.
Isso dá (a). Observação: a lei do produto vale porque os dois limites existem (o segundo é 0, o primeiro é finito).

Passo 7

Resumo final (para lembrar na prova, de forma prática):
  • Use a fatoração x^{k}-a^{k}=(x-a)\sum_{j=0}^{k-1} x^{k-1-j}a^{j}.
  • Calcule o limite do quociente pela soma de limites (cada termo tende a a^{k-1}), obtendo k a^{k-1}.
  • Multiplique pelo fator (x-a) que tende a 0 para concluir que \lim_{x\to a}(x^{k}-a^{k})=0.

Resposta

(a) 0
(b) k a^{k-1}
(c) A partir de (b), \lim_{x\to a}(x^{k}-a^{k})=(\lim_{x\to a}\tfrac{x^{k}-a^{k}}{x-a})(\lim_{x\to a}(x-a))=(k a^{k-1})\cdot 0=0.

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