Sejam
um inteiro positivo e
um número real.
(a) Mostre que
.
(c) Escrevendo
para
, obtenha (a) a partir de (b).
(b) Mostre que
.
(a) Mostre que
(c) Escrevendo
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá:
-
inteiro positivo; -
número real.
Pede-se três coisas:
- (a) Mostrar que
. - (b) Mostrar que
. - (c) Usando a escrita
para , obter (a) a partir de (b).
Anotações úteis que serão usadas:
- Leis de limites: se
e existem finitos, então , e, se , . - Para potências inteiras não-negativas, a propriedade
será usada (pode ser provada por indução).
Passo 2
Lema preparatório — limites de potências por indução (ferramenta que precisamos):
Queremos mostrar que, para todo inteiro ,
Queremos mostrar que, para todo inteiro
Prova por indução:
- Base
: para todo , logo . - Passo indutivo: suponha
. Então
Pelas leis de limites (produto), isso vale
Assim a propriedade vale para
. Por indução é válida para todo
.
Comentário prático: isto diz que polinômios são contínuos ponto a ponto; em particular monômios
têm limite simples.
Passo 3
Fórmula algébrica importante (identidade de fatoração):
Para e inteiro
,
Para
Verificação rápida (multiplicando e vendo que telescopa):
Alinhando termos nota-se que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando
. Esta é a fatoração clássica (caso especial de soma geométrica).
Passo 4
Expressar o quociente que aparece em (b) usando a identidade:
Para ,
Para
Denote essa soma por
, isto é
Note que são exatamente
termos nessa soma.
Passo 5
Calcular
usando as leis de limite e o Lema:
Cada termo da soma é do tipo
. Para cada
,
pela propriedade de limites de potências:
Cada termo da soma
pela propriedade de limites de potências:
Multiplicando pela constante
(que não depende de
) e usando a lei do produto,
Portanto cada um dos
termos tende a
. Aplicando a lei da soma de limites,
Isto prova (b):
Passo 6
Obter (a) a partir de (b) usando a fatoração (isso responde (c)):
Para escreve-se
Para
Tomando limite quando
e usando as leis de limite (produto), sabendo por (b) que o limite do quociente existe e é finito:
Isso dá (a). Observação: a lei do produto vale porque os dois limites existem (o segundo é
, o primeiro é finito).
Passo 7
Resumo final (para lembrar na prova, de forma prática):
- Use a fatoração
. - Calcule o limite do quociente pela soma de limites (cada termo tende a
), obtendo . - Multiplique pelo fator
que tende a para concluir que .
Resposta
(a)
(b)
(c) A partir de (b), .
(b)
(c) A partir de (b),