Calcule
\sum_{j=0}^{4}\left(2 \cdot 3^{j}+3 \cdot 2^{j}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a soma
\sum_{j=0}^{4}\left(2\cdot 3^{j}+3\cdot 2^{j}\right).
Informações dadas: o somatório varia j=0 até j=4 e cada termo é a soma de duas parcelas, 2\cdot 3^{j} e 3\cdot 2^{j}. O objetivo é obter um número (a soma total).

Passo 2

Primeiro fato útil (linearidade da soma): a soma de uma soma é a soma das somas, e constantes podem sair da soma. Formalmente,
\sum_{j=0}^{4}\left(2\cdot 3^{j}+3\cdot 2^{j}\right) = 2\sum_{j=0}^{4}3^{j}+3\sum_{j=0}^{4}2^{j}.
Explicando de forma bem direta: posso separar o somatório em duas partes e multiplicar cada parte pela constante que está multiplicando as potências.

Passo 3

Agora precisamos calcular duas somas do tipo \sum_{j=0}^{4}r^{j}, que são somas geométricas. Vou usar a fórmula geral da soma geométrica para facilitar.

Passo 4

Fórmula da soma geométrica finita e sua derivação curta. Seja
S=\sum_{j=0}^{n}r^{j}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS=r+r^{2}+\cdots+r^{n}+r^{n+1}.
Subtraindo as duas equações ( rS-S ) temos
rS-S=r^{n+1}-1.
Fatorando S do lado esquerdo:
S(r-1)=r^{n+1}-1.
Portanto, para r\neq 1,
S=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.
Aqui r é a razão da progressão geométrica (por exemplo r=3 ou r=2) e n é o maior expoente (aqui n=4).

Passo 5

Aplicando a fórmula para \sum_{j=0}^{4}3^{j}. Aqui r=3 e n=4, então
\sum_{j=0}^{4}3^{j}=\frac{3^{5}-1}{3-1}.
Calculo passo a passo: 3^{5}=243. Substituindo,
\sum_{j=0}^{4}3^{j}=\frac{243-1}{2}=\frac{242}{2}=121.

Passo 6

Aplicando a fórmula para \sum_{j=0}^{4}2^{j}. Aqui r=2 e n=4, então
\sum_{j=0}^{4}2^{j}=\frac{2^{5}-1}{2-1}.
Calculo passo a passo: 2^{5}=32. Substituindo,
\sum_{j=0}^{4}2^{j}=\frac{32-1}{1}=31.

Passo 7

Voltando à expressão original usando os resultados:
2\sum_{j=0}^{4}3^{j}+3\sum_{j=0}^{4}2^{j}=2\cdot 121 + 3\cdot 31.
Calculemos: 2\cdot 121=242 e 3\cdot 31=93. Somando,
242+93=335.

Passo 8

Verificação opcional — soma termo a termo (para ficar mais tranquilo): para cada j
\begin{aligned} j=0:&\;2\cdot 3^{0}+3\cdot 2^{0}=2\cdot1+3\cdot1=5,\\\ j=1:&\;2\cdot 3^{1}+3\cdot 2^{1}=2\cdot3+3\cdot2=12,\\\ j=2:&\;2\cdot 3^{2}+3\cdot 2^{2}=2\cdot9+3\cdot4=30,\\\ j=3:&\;2\cdot 3^{3}+3\cdot 2^{3}=2\cdot27+3\cdot8=78,\\\ j=4:&\;2\cdot 3^{4}+3\cdot 2^{4}=2\cdot81+3\cdot16=210. \end{aligned}
Somando 5+12+30+78+210=335, confere com o resultado acima.

Resposta

335

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