Calcule
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a soma
Informações dadas: o somatório varia
até
e cada termo é a soma de duas parcelas,
e
. O objetivo é obter um número (a soma total).
Passo 2
Primeiro fato útil (linearidade da soma): a soma de uma soma é a soma das somas, e constantes podem sair da soma. Formalmente,
Explicando de forma bem direta: posso separar o somatório em duas partes e multiplicar cada parte pela constante que está multiplicando as potências.
Passo 3
Agora precisamos calcular duas somas do tipo
, que são somas geométricas. Vou usar a fórmula geral da soma geométrica para facilitar.
Passo 4
Fórmula da soma geométrica finita e sua derivação curta. Seja
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Subtraindo as duas equações (
) temos
Fatorando
do lado esquerdo:
Portanto, para
,
Aqui
é a razão da progressão geométrica (por exemplo
ou
) e
é o maior expoente (aqui
).
Passo 5
Aplicando a fórmula para
. Aqui
e
, então
Calculo passo a passo:
. Substituindo,
Passo 6
Aplicando a fórmula para
. Aqui
e
, então
Calculo passo a passo:
. Substituindo,
Passo 7
Voltando à expressão original usando os resultados:
Calculemos:
e
. Somando,
Passo 8
Verificação opcional — soma termo a termo (para ficar mais tranquilo): para cada
Somando
, confere com o resultado acima.
Resposta
335