Calcule
\sum_{\mathrm{i}=1}^{3} \sum_{\mathrm{j}=1}^{2}(\mathrm{i}-\mathrm{j})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dupla \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(i-j).\n
Informações dadas:
  • O índice i varia de 1 até 3.
  • O índice j varia de 1 até 2.
  • O termo a somar é i-j.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa soma dupla?

Passo 2

Vamos escolher um método prático: primeiro calculamos a soma interna (sobre j) para cada i, e depois somamos os resultados sobre i. Eu escolhi esse método porque é direto e fácil de executar sem cálculo pesado — é o jeito padrão para somas duplas quando um dos índices tem poucos valores.

Passo 3

Para i fixo, calculemos a soma interna:
\sum_{j=1}^{2}(i-j).
Usamos a propriedade que a soma de uma diferença é a diferença das somas:
\sum_{j=1}^{2}(i-j)=\sum_{j=1}^{2}i-\sum_{j=1}^{2}j.
Aqui \sum_{j=1}^{2}i é uma soma de uma constante i com 2 termos, então vale 2i. E \sum_{j=1}^{2}j é 1+2=3. Portanto,
\sum_{j=1}^{2}(i-j)=2i-3.

Passo 4

Agora aplicamos a soma externa sobre i:
\sum_{i=1}^{3}\bigl(2i-3\bigr)=2\sum_{i=1}^{3}i-3\sum_{i=1}^{3}1.
Explico as partes: \sum_{i=1}^{3}i é a soma dos inteiros 1+2+3. Podemos usar a fórmula da soma dos primeiros n inteiros \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}. Aqui n=3, então
\sum_{i=1}^{3}i=\frac{3\cdot4}{2}=6.
E \sum_{i=1}^{3}1 é simplesmente o número de termos, que é 3. Substituindo:
2\sum_{i=1}^{3}i-3\sum_{i=1}^{3}1=2\cdot6-3\cdot3=12-9=3.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas bom para ganhar confiança): listar todos os termos (i-j) e somar.
  • Para i=1: j=1\Rightarrow 1-1=0, j=2\Rightarrow 1-2=-1. Soma para i=1: -1.
  • Para i=2: j=1\Rightarrow 2-1=1, j=2\Rightarrow 2-2=0. Soma para i=2: 1.
  • Para i=3: j=1\Rightarrow 3-1=2, j=2\Rightarrow 3-2=1. Soma para i=3: 3.
    Somando -1+1+3=3, confirma o resultado anterior.

Resposta

3

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