Suponha que a equação
defina z como função de x e y . Derive implicitamente para encontrar
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
é função de
e
(ou seja
). As perguntas são: encontrar
e
. Informações relevantes: a igualdade vale para todos os pontos considerados e, ao derivarmos, devemos lembrar que
depende de
e de
.
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (explicação didática): quando uma equação relaciona
e
depende de
e
, derivamos ambos os lados em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa (isto é, para
tratamos
como constante; para
tratamos
como constante), e aplicamos:
- regra do produto:
, - regra da cadeia: se temos
, então ,
lembrando que quandoenvolve , aparece ou . Uma forma prática é reescrever a equação como
e derivar
em relação a
e a
.
Passo 3
Derivando em relação a
(com
constante). Diferenciamos ambos os lados de
em relação a
. No lado esquerdo
. No lado direito aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- derivada de
em relação a é (pois é constante), - derivada de
em relação a é . Como é constante, .
Portanto, derivando o lado direito:
Igualando as derivadas:
Passo 4
Isolando
. Agrupamos os termos com
no lado esquerdo:
Colocando
em evidência:
Finalmente,
Aqui expliquei passo a passo: tiramos
fator comum e dividimos pelo coeficiente, assumindo que o denominador não é zero.
Passo 5
Derivando em relação a
(com
constante). Voltamos à equação
e derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo
. No lado direito usamos produto e cadeia, mas agora tanto
quanto
dependem de
:
- derivada de
em relação a é , - derivada de
em relação a é .
Agoraprecisa de regra do produto (pois depende de ): .
Logo
Igualando as derivadas:
Passo 6
Isolando
. Agrupamos os termos com
:
Colocando
em evidência:
Portanto
Novamente assumimos que o denominador não é zero para que a divisão faça sentido.