Suponha que a equação z=(x+y) \cdot e^{y z} defina z como função de x e y . Derive implicitamente para encontrar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
z=(x+y)\,e^{y z}
onde z é função de x e y (ou seja z=z(x,y)). As perguntas são: encontrar \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}. Informações relevantes: a igualdade vale para todos os pontos considerados e, ao derivarmos, devemos lembrar que z depende de x e de y.

Passo 2

Ideia básica que vamos usar (explicação didática): quando uma equação relaciona x,y,z e z depende de x e y, derivamos ambos os lados em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa (isto é, para \partial/\partial x tratamos y como constante; para \partial/\partial y tratamos x como constante), e aplicamos:
  • regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v',
  • regra da cadeia: se temos e^{g(x)}, então \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x),
    lembrando que quando g envolve z, aparece z_x ou z_y. Uma forma prática é reescrever a equação como
F(x,y,z)=z-(x+y)e^{y z}=0,
e derivar F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x e a y.

Passo 3

Derivando em relação a x (com y constante). Diferenciamos ambos os lados de
z=(x+y)\,e^{y z}
em relação a x. No lado esquerdo \dfrac{\partial}{\partial x} z = z_x. No lado direito aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  • derivada de (x+y) em relação a x é 1 (pois y é constante),
  • derivada de e^{y z} em relação a x é e^{y z}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(y z). Como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(y z)=y\,z_x.
    Portanto, derivando o lado direito:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big((x+y)e^{y z}\big)=1\cdot e^{y z}+(x+y)\,e^{y z}\cdot (y\,z_x).
Igualando as derivadas:
z_x = e^{y z} + (x+y)\,e^{y z}\,y\,z_x.

Passo 4

Isolando z_x. Agrupamos os termos com z_x no lado esquerdo:
z_x - (x+y)\,y\,e^{y z}\,z_x = e^{y z}.
Colocando z_x em evidência:
z_x\big(1 - y(x+y)e^{y z}\big) = e^{y z}.
Finalmente,
\boxed{\,z_x = \dfrac{e^{y z}}{1 - y(x+y)e^{y z}}\,}.
Aqui expliquei passo a passo: tiramos z_x fator comum e dividimos pelo coeficiente, assumindo que o denominador não é zero.

Passo 5

Derivando em relação a y (com x constante). Voltamos à equação
z=(x+y)\,e^{y z}
e derivamos ambos os lados em relação a y. No lado esquerdo \dfrac{\partial}{\partial y} z = z_y. No lado direito usamos produto e cadeia, mas agora tanto (x+y) quanto e^{y z} dependem de y:
  • derivada de (x+y) em relação a y é 1,
  • derivada de e^{y z} em relação a y é e^{y z}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y z).
    Agora \dfrac{\partial}{\partial y}(y z) precisa de regra do produto (pois z depende de y): \dfrac{\partial}{\partial y}(y z)=1\cdot z + y\cdot z_y = z + y z_y.
    Logo
\dfrac{\partial}{\partial y}\big((x+y)e^{y z}\big)=1\cdot e^{y z} + (x+y)\,e^{y z}\cdot (z + y z_y).
Igualando as derivadas:
z_y = e^{y z} + (x+y)\,e^{y z}\,z + (x+y)\,e^{y z}\,y\,z_y.

Passo 6

Isolando z_y. Agrupamos os termos com z_y:
z_y - (x+y)\,y\,e^{y z}\,z_y = e^{y z} + (x+y)\,z\,e^{y z}.
Colocando z_y em evidência:
z_y\big(1 - y(x+y)e^{y z}\big) = e^{y z}\big(1 + (x+y)z\big).
Portanto
\boxed{\,z_y = \dfrac{e^{y z}\big(1 + (x+y)z\big)}{1 - y(x+y)e^{y z}}\, }.
Novamente assumimos que o denominador não é zero para que a divisão faça sentido.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{e^{y z}}{1 - y(x+y)e^{y z}}\
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{e^{y z}\big(1 + (x+y)z\big)}{1 - y(x+y)e^{y z}}

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