Dada a função
, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as segundas derivadas parciais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
.
As perguntas são exatamente as três segundas derivadas parciais listadas acima.
As perguntas são exatamente as três segundas derivadas parciais listadas acima.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (de forma bem direta):
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar em relação a tratamos como constante. - Derivada parcial em relação a
: ao derivar em relação a tratamos como constante. - Regra do produto: se
então . Aqui isso vale para funções em que apenas um fator depende da variável de derivação. - Regra da cadeia: se
então .
Vou aplicar essas regras explicitamente passo a passo.
Passo 3
Calculando a primeira derivada parcial em relação a
.
Trato
como constante. A função é produto de
por
, mas
não depende de
, é constante ao derivar em
. Logo
Explicação: derivada de
em relação a
é
, então sobra o fator constante
.
Passo 4
Agora a segunda derivada parcial em relação a
: derivamos
em relação a
novamente.
Como
não depende de
(é função apenas de
), sua derivada em relação a
é zero:
Passo 5
Calculando a primeira derivada parcial em relação a
.
Aqui
é constante. Temos
Aplicamos a regra da cadeia à função
. Primeiro a derivada de
é
, com
. Depois derivamos
em relação a
: por cadeia,
. Combinando:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos escrever
. Portanto
Passo 6
Agora a segunda derivada parcial em relação a
: derivamos
em relação a
, lembrando que
é constante.
Pela regra da cadeia,
. Assim
Passo 7
Calculando a derivada mista
.
Opção direta (derivar primeiro em
e depois em
): já vimos que
. Derivando isso em relação a
(regra da cadeia como no Passo 5):
Portanto
Verificação rápida de simetria: se derivarmos primeiro em
(Passo 5) obtivemos
. Derivando isso em
dá
, que coincide com o resultado acima — isso mostra que as derivadas mistas são iguais aqui (função lisa).