Dada a função f(x, y)=x \cdot \operatorname{sen}^{2}(3 y), calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\cdot \operatorname{sen}^{2}(3y)
e pede para calcular as segundas derivadas parciais
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
\;f(x,y)=x\cdot \operatorname{sen}^{2}(3y).
As perguntas são exatamente as três segundas derivadas parciais listadas acima.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (de forma bem direta):
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\cdot v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui isso vale para funções em que apenas um fator depende da variável de derivação.
  • Regra da cadeia: se h(t)=\varphi(\psi(t)) então h'(t)=\varphi'(\psi(t))\cdot\psi'(t).
    Vou aplicar essas regras explicitamente passo a passo.

Passo 3

Calculando a primeira derivada parcial em relação a x.
Trato y como constante. A função é produto de x por \operatorname{sen}^{2}(3y), mas \operatorname{sen}^{2}(3y) não depende de x, é constante ao derivar em x. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sen}^{2}(3y).
Explicação: derivada de x em relação a x é 1, então sobra o fator constante \operatorname{sen}^{2}(3y).

Passo 4

Agora a segunda derivada parcial em relação a x: derivamos \frac{\partial f}{\partial x} em relação a x novamente.
Como \frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sen}^{2}(3y) não depende de x (é função apenas de y), sua derivada em relação a x é zero:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0.

Passo 5

Calculando a primeira derivada parcial em relação a y.
Aqui x é constante. Temos
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot \frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen}^{2}(3y)\big).
Aplicamos a regra da cadeia à função \operatorname{sen}^{2}(3y). Primeiro a derivada de u \mapsto u^{2} é 2u, com u=\operatorname{sen}(3y). Depois derivamos u=\operatorname{sen}(3y) em relação a y: por cadeia, \frac{d}{dy}\operatorname{sen}(3y)=\cos(3y)\cdot 3. Combinando:
\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen}^{2}(3y)\big)=2\operatorname{sen}(3y)\cdot\big(\cos(3y)\cdot 3\big)=6\operatorname{sen}(3y)\cos(3y).
Usando a identidade trigonométrica 2\operatorname{sen}a\cos a=\operatorname{sen}(2a), podemos escrever 6\operatorname{sen}(3y)\cos(3y)=3\operatorname{sen}(6y). Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot 6\operatorname{sen}(3y)\cos(3y)=3x\operatorname{sen}(6y).

Passo 6

Agora a segunda derivada parcial em relação a y: derivamos \frac{\partial f}{\partial y}=3x\operatorname{sen}(6y) em relação a y, lembrando que x é constante.
Pela regra da cadeia, \frac{d}{dy}\operatorname{sen}(6y)=6\cos(6y). Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=3x\cdot 6\cos(6y)=18x\cos(6y).

Passo 7

Calculando a derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
Opção direta (derivar primeiro em x e depois em y): já vimos que \frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sen}^{2}(3y). Derivando isso em relação a y (regra da cadeia como no Passo 5):
\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sen}^{2}(3y)\big)=6\operatorname{sen}(3y)\cos(3y)=3\operatorname{sen}(6y).
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=3\operatorname{sen}(6y).
Verificação rápida de simetria: se derivarmos primeiro em y (Passo 5) obtivemos \frac{\partial f}{\partial y}=3x\operatorname{sen}(6y). Derivando isso em x 3\operatorname{sen}(6y), que coincide com o resultado acima — isso mostra que as derivadas mistas são iguais aqui (função lisa).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=18x\cos(6y)
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=3\operatorname{sen}(6y)

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