Calcule
\sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta}
Deduza que
1+2 \sum_{k=1}^{n} \cos (k \theta)=\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) \theta\right)}{\sin \left(\frac{1}{2} \theta\right)}
se \theta \neq 2 m \pi(m \in \mathbb{Z}). Encontre uma expressão semelhante para
\sum_{k=1}^{n} \sin (k \theta)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pedem para calcular a soma complexa \sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta},onde n é inteiro não negativo e \theta é um número real.
  • Depois querem que eu deduza a identidade 1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=\frac{\sin\!\big((n+\tfrac{1}{2})\theta\big)}{\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\theta\big)},sob a hipótese \theta\neq 2m\pi com m\in\mathbb{Z} (isso evita divisão por zero).
  • Por fim pedem uma expressão semelhante para \sum_{k=1}^{n}\sin(k\theta).
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • Posso usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica.
  • Posso usar a fórmula de Euler e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi para relacionar exponenciais complexas com cossenos e senos.
  • Devo tratar o caso \theta=2m\pi separadamente porque aí e^{i\theta}=1 e a soma geométrica tem denominador zero na forma usual.

Passo 2

Soma geométrica complexa: vou usar a fórmula padrão para soma de uma progressão geométrica.
Fórmula: para q\neq 1,
\sum_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}.
Aplicando com q=e^{i\theta} (e assumindo por enquanto e^{i\theta}\neq 1, i.e. \theta\neq 2m\pi):
\sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta}=\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}.
Isto já é uma expressão correta, mas vamos transformá‑la para uma forma envolvendo senos e um fator exponencial mais simpático.

Passo 3

Transformação para formas com seno (truque padrão): para qualquer \alpha vale
1-e^{i\alpha}=-2i\,e^{i\alpha/2}\sin\!\Big(\frac{\alpha}{2}\Big).
Vou aplicar essa identidade ao numerador com \alpha=(n+1)\theta e ao denominador com \alpha=\theta.
No numerador:
1-e^{i(n+1)\theta}=-2i\,e^{i(n+1)\theta/2}\sin\!\Big(\frac{(n+1)\theta}{2}\Big).
No denominador:
1-e^{i\theta}=-2i\,e^{i\theta/2}\sin\!\Big(\frac{\theta}{2}\Big).
Dividindo numerador por denominador:
\sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta} =\frac{-2i\,e^{i(n+1)\theta/2}\sin\!\big(\frac{(n+1)\theta}{2}\big)} {-2i\,e^{i\theta/2}\sin\!\big(\frac{\theta}{2}\big)} = e^{i n\theta/2}\,\frac{\sin\!\big(\frac{(n+1)\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\frac{\theta}{2}\big)}.
Portanto, para \theta\neq 2m\pi,
\boxed{\displaystyle \sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta} = e^{i n\theta/2}\,\frac{\sin\!\big(\frac{(n+1)\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\frac{\theta}{2}\big)}.}
(Achei uma forma muito prática: um fator exponencial e^{i n\theta/2} multiplicando um quociente real de senos.)

Passo 4

Da soma complexa às somas de cossenos e senos — interpretação por partes real e imaginária.
Defino
A:=\frac{\sin\!\big(\frac{(n+1)\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\frac{\theta}{2}\big)},
que é um número real (quando \theta\neq 2m\pi). Então a soma é
\sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta}=A\,e^{i n\theta/2}.
Separando parte real e imaginária usando e^{i n\theta/2}=\cos\!\big(\tfrac{n\theta}{2}\big)+i\sin\!\big(\tfrac{n\theta}{2}\big):
\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)=A\cos\!\Big(\frac{n\theta}{2}\Big), \qquad \sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)=A\sin\!\Big(\frac{n\theta}{2}\Big).
Como \sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)=1+\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta), posso manipular para obter a identidade pedida. Mas existe uma forma ainda mais direta para a soma simétrica que aparece no enunciado: observe que
1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=\sum_{k=-n}^{n} e^{i k\theta},
pois o lado direito expande em termos exponenciais e os termos positivos e negativos se combinam em cossenos, ficando o termo central k=0 igual a 1.
Agora calculo essa soma simétrica como uma série geométrica com 2n+1 termos:
\sum_{k=-n}^{n} e^{i k\theta} = e^{-in\theta}\sum_{j=0}^{2n} e^{i j\theta} = e^{-in\theta}\,\frac{1-e^{i(2n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}.
Aplicando o mesmo truque de escrever 1-e^{i\alpha} em termos de senos (como no Passo 3) chega‑se imediatamente a
\sum_{k=-n}^{n} e^{i k\theta}=\frac{\sin\!\big(\frac{(2n+1)\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\frac{\theta}{2}\big)}.
Mas \frac{(2n+1)\theta}{2}=(n+\tfrac{1}{2})\theta. Logo
\boxed{\displaystyle 1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=\frac{\sin\!\big((n+\tfrac{1}{2})\theta\big)}{\sin\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)},\quad \theta\neq 2m\pi.}
(Isto é o chamado núcleo de Dirichlet, uma identidade clássica.)

Passo 5

Expressão para \sum_{k=1}^{n}\sin(k\theta).
Já temos em termos de A:
\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)=A\sin\!\Big(\frac{n\theta}{2}\Big).
Como \sin(0)=0, então
\sum_{k=1}^{n}\sin(k\theta)=\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)=A\sin\!\Big(\frac{n\theta}{2}\Big).
Substituindo A obtemos a forma desejada:
\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sin(k\theta) = \frac{\sin\!\big(\frac{(n+1)\theta}{2}\big)\,\sin\!\big(\frac{n\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\frac{\theta}{2}\big)},\quad \theta\neq 2m\pi.}
(É uma fórmula bem simétrica: produto de dois senos no numerador dividido por \sin(\theta/2).)

Passo 6

Caso especial \theta=2m\pi. Se \theta=2m\pi então e^{ik\theta}=1 para todo k, logo
\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta}=n+1, \qquad \sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=n, \qquad \sum_{k=1}^{n}\sin(k\theta)=0.
As fórmulas acima com razões por \sin(\theta/2) não valem diretamente nesse caso porque o denominador é zero; por isso o enunciado pediu a condição \theta\neq 2m\pi.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=0}^{n} e^{i k \theta}= e^{i n\theta/2}\,\dfrac{\sin\!\big(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\dfrac{\theta}{2}\big)}\
\displaystyle 1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=\dfrac{\sin\!\big((n+\tfrac{1}{2})\theta\big)}{\sin\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big)}\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sin(k\theta)=\dfrac{\sin\!\big(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\big)\,\sin\!\big(\dfrac{n\theta}{2}\big)}{\sin\!\big(\dfrac{\theta}{2}\big)}

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