Calcule
Deduza que
se
. Encontre uma expressão semelhante para
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pedem para calcular a soma complexa
onde é inteiro não negativo e é um número real. - Depois querem que eu deduza a identidade
sob a hipótese com (isso evita divisão por zero). - Por fim pedem uma expressão semelhante para
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- Posso usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica.
- Posso usar a fórmula de Euler
para relacionar exponenciais complexas com cossenos e senos. - Devo tratar o caso
separadamente porque aí e a soma geométrica tem denominador zero na forma usual.
Passo 2
Soma geométrica complexa: vou usar a fórmula padrão para soma de uma progressão geométrica.
Fórmula: para
,
Aplicando com
(e assumindo por enquanto
, i.e.
):
Isto já é uma expressão correta, mas vamos transformá‑la para uma forma envolvendo senos e um fator exponencial mais simpático.
Passo 3
Transformação para formas com seno (truque padrão): para qualquer
vale
Vou aplicar essa identidade ao numerador com
e ao denominador com
.
No numerador:
No denominador:
Dividindo numerador por denominador:
Portanto, para
,
(Achei uma forma muito prática: um fator exponencial
multiplicando um quociente real de senos.)
Passo 4
Da soma complexa às somas de cossenos e senos — interpretação por partes real e imaginária.
Defino
que é um número real (quando
). Então a soma é
Separando parte real e imaginária usando
:
Como
, posso manipular para obter a identidade pedida. Mas existe uma forma ainda mais direta para a soma simétrica que aparece no enunciado: observe que
pois o lado direito expande em termos exponenciais e os termos positivos e negativos se combinam em cossenos, ficando o termo central
igual a
.
Agora calculo essa soma simétrica como uma série geométrica com
termos:
Aplicando o mesmo truque de escrever
em termos de senos (como no Passo 3) chega‑se imediatamente a
Mas
. Logo
(Isto é o chamado núcleo de Dirichlet, uma identidade clássica.)
Passo 5
Expressão para
.
Já temos em termos de
:
Como
, então
Substituindo
obtemos a forma desejada:
(É uma fórmula bem simétrica: produto de dois senos no numerador dividido por
.)
Passo 6
Caso especial
. Se
então
para todo
, logo
As fórmulas acima com razões por
não valem diretamente nesse caso porque o denominador é zero; por isso o enunciado pediu a condição
.