Expresse em termos de r e \theta as seguintes equações, onde z=r e^{i \theta} : Simplifique ao máximo sua resposta.
\arg (2 z)=2 \pi / 3;

Passo 1

O enunciado dá que z = r e^{i\theta} e pede que a condição
\arg(2z)=\frac{2\pi}{3}
seja escrita em termos de r e \theta. Informações relevantes que temos:
  • r é o módulo de z e, por definição, r\ge 0.
  • \theta é o argumento de z (um número real).
  • A operação \arg(\cdot) só está definida para números complexos não nulos; portanto se r=0 a expressão \arg(2z) não faz sentido.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil do argumento: para quaisquer complexos não nulos a e b vale, com sentido modulatório de 2\pi,
\arg(ab)\equiv \arg(a)+\arg(b)\pmod{2\pi}.
Isto significa que ao multiplicar dois complexos somam-se seus argumentos, mas como o argumento é uma quantidade definida a menos de múltiplos inteiros de 2\pi, escrevemos a igualdade "módulo 2\pi".

Passo 3

Aplicando essa propriedade a \arg(2z), note que 2 é um número real positivo, logo \arg(2)=0 (ou 2k\pi, qualquer múltiplo de 2\pi, se considerar o caráter multivalorado). Assim
\arg(2z)\equiv \arg(2)+\arg(z)\equiv 0+\arg(z)\equiv \arg(z)\pmod{2\pi}.
Como \arg(z) corresponde ao ângulo \theta (módulo 2\pi), a equação dada fica
\theta\equiv \frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.

Passo 4

Interpretando a igualdade módulo 2\pi escrevemos a solução geral para \theta:
\theta=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Quanto a r, basta lembrar que r pode ser qualquer número positivo (se r=0 a função argumento não é definida). Portanto r>0.

Passo 5

Resumo prático e uma intuição geométrica rápida: todos os z que satisfazem \arg(2z)=\tfrac{2\pi}{3} estão sobre o raio que parte da origem e forma um ângulo de 120^\circ com o eixo real positivo; pontos nesse raio são exatamente z=r e^{i\theta} com r>0 e \theta dado acima. Um exemplo concreto é z=5e^{i2\pi/3}.

Resposta

\theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z};\\ r>0

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