Expresse em termos de
e
as seguintes equações, onde
: Simplifique ao máximo sua resposta.
;
Passo 1
O enunciado dá que
e pede que a condição
seja escrita em termos de
e
. Informações relevantes que temos:
-
é o módulo de e, por definição, . -
é o argumento de (um número real). - A operação
só está definida para números complexos não nulos; portanto se a expressão não faz sentido.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil do argumento: para quaisquer complexos não nulos
e
vale, com sentido modulatório de
,
Isto significa que ao multiplicar dois complexos somam-se seus argumentos, mas como o argumento é uma quantidade definida a menos de múltiplos inteiros de
, escrevemos a igualdade "módulo
".
Passo 3
Aplicando essa propriedade a
, note que
é um número real positivo, logo
(ou
, qualquer múltiplo de
, se considerar o caráter multivalorado). Assim
Como
corresponde ao ângulo
(módulo
), a equação dada fica
Passo 4
Interpretando a igualdade módulo
escrevemos a solução geral para
:
Quanto a
, basta lembrar que
pode ser qualquer número positivo (se
a função argumento não é definida). Portanto
.
Passo 5
Resumo prático e uma intuição geométrica rápida: todos os
que satisfazem
estão sobre o raio que parte da origem e forma um ângulo de
com o eixo real positivo; pontos nesse raio são exatamente
com
e
dado acima. Um exemplo concreto é
.