Encontre todas as raízes em
das seguintes equações:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as raízes em
da equação
Informações dadas:
- A soma inclui os termos
. - Procuram-se todos os números complexos
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica (para
). Seja
Multiplicando por
obtemos
Subtraindo essas duas igualdades:
Logo, para
,
Observação importante: se
então
, que não é
; portanto
não é solução.
Passo 3
Da fórmula anterior, para ter
(com
) é necessário e suficiente que
ou seja
com
. Assim as soluções são as raízes oitavas da unidade, exceto
.
Passo 4
As raízes oitavas da unidade escrevem-se em forma exponencial complexa como
para
. Exclui-se
(que dá
). Portanto as soluções são os valores com
.
Podemos listar explicitamente em forma trigonométrica e, quando simples, em forma algébrica:
Interpretação geométrica rápida (útil para a prova): são os vértices de um octógono regular no círculo unitário, igualmente espaçados por ângulos de
.]
Passo 5
Checagem rápida para ganhar confiança: por exemplo
dá a soma
; para
as potências repetem o ciclo
cuja soma também é
. Esses exemplos batem com a lista acima.