Encontre todas as raízes em \mathbb{C} das seguintes equações:
1+z+z^{2}+\cdots+z^{7}=0;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as raízes em \mathbb{C} da equação
1+z+z^{2}+\cdots+z^{7}=0.
Informações dadas:
  • A soma inclui os termos z^{0},z^{1},\dots,z^{7}.
  • Procuram-se todos os números complexos z que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica (para z\neq 1). Seja
S=1+z+z^{2}+\cdots+z^{7}.
Multiplicando por z obtemos
zS=z+z^{2}+\cdots+z^{7}+z^{8}.
Subtraindo essas duas igualdades:
(z-1)S=z^{8}-1.
Logo, para z\neq 1,
S=\frac{z^{8}-1}{z-1}.
Observação importante: se z=1 então S=8, que não é 0; portanto z=1 não é solução.

Passo 3

Da fórmula anterior, para ter S=0 (com z\neq 1) é necessário e suficiente que
z^{8}-1=0,
ou seja
z^{8}=1,
com z\neq 1. Assim as soluções são as raízes oitavas da unidade, exceto 1.

Passo 4

As raízes oitavas da unidade escrevem-se em forma exponencial complexa como
z=\mathrm{e}^{2\pi i k/8}=\mathrm{e}^{i\pi k/4},
para k=0,1,\dots,7. Exclui-se k=0 (que dá z=1). Portanto as soluções são os valores com k=1,2,\dots,7.
Podemos listar explicitamente em forma trigonométrica e, quando simples, em forma algébrica:
\begin{aligned} k=1:&\quad z=\mathrm{e}^{i\pi/4}=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] k=2:&\quad z=\mathrm{e}^{i\pi/2}=i,\\[4pt] k=3:&\quad z=\mathrm{e}^{3i\pi/4}=\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] k=4:&\quad z=\mathrm{e}^{i\pi}=-1,\\[4pt] k=5:&\quad z=\mathrm{e}^{5i\pi/4}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] k=6:&\quad z=\mathrm{e}^{3i\pi/2}=-i,\\[4pt] k=7:&\quad z=\mathrm{e}^{7i\pi/4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\tfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}
Interpretação geométrica rápida (útil para a prova): são os vértices de um octógono regular no círculo unitário, igualmente espaçados por ângulos de \tfrac{\pi}{4}.]

Passo 5

Checagem rápida para ganhar confiança: por exemplo z=-1 dá a soma 1-1+1-1+1-1+1-1=0; para z=i as potências repetem o ciclo 1,i,-1,-i,1,i,-1,-i cuja soma também é 0. Esses exemplos batem com a lista acima.

Resposta

z=\mathrm{e}^{i\pi k/4}, para k=1,2,\dots,7

Exercícios relacionados