Expresse em termos de r e \theta as seguintes equações, onde z=r e^{i \theta} : Simplifique ao máximo sua resposta.
\arg (i z)=\pi / 4;

Passo 1

O enunciado pede para reescrever, em termos de r e \theta, a equação
\arg(i z)=\frac{\pi}{4},
sabendo que z=r e^{i\theta}. Informações relevantes que já temos:
  • z=r e^{i\theta} com r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}.
  • A função \arg(\cdot) dá o ângulo (argumento) de um número complexo, definida modulo 2\pi. Atenção: \arg(0) não é definido, então r=0 não é permitido aqui.

Passo 2

Vamos escrever i em forma exponencial. Sabe-se que
i = e^{i\frac{\pi}{2}}.
Isto significa que, multiplicando z por i, somamos os argumentos (lembrando da propriedade dos exponenciais complexos). Então
i z = i\cdot r e^{i\theta} = r\, e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}.

Passo 3

Agora use a definição/propriedade do argumento: o argumento de um produto é a soma dos argumentos (mod 2\pi). Assim,
\arg(i z)=\arg\!\left(r\, e^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}\right)=\theta+\frac{\pi}{2}\quad(\text{mod }2\pi).
Portanto a equação \arg(i z)=\dfrac{\pi}{4} vira uma equação para \theta (mod 2\pi).

Passo 4

Igualando com o valor pedido e lembrando o módulo 2\pi, escrevemos
\theta+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Isolando \theta:
\theta=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}+2k\pi=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Comentário sobre r: como \arg(0) é indefinido, devemos exigir r>0. Para o caso em que se usa o argumento principal (por exemplo \arg\in(-\pi,\pi]), basta escolher k=0 e obter \theta=-\dfrac{\pi}{4}, que já está no intervalo principal.

Resposta

r>0,\qquad \theta=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados