1. Determine o coeficiente de x^{4} no desenvolvimento de \left(x^{2}-x+2\right)^{6}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{4} em \bigl(x^{2}-x+2\bigr)^{6}. Para isso vamos usar o Teorema Multinomial, que diz que
(x^{2}-x+2)^{6} =\sum_{i+j+k=6}\frac{6!}{i!\,j!\,k!}\,(x^{2})^{i}\,(-x)^{j}\,2^{k}.
Cada termo geral é \dfrac{6!}{i!j!k!}(-1)^{j}2^{k}x^{2i+j}.

Passo 2

Precisamos que o expoente de x seja 4, ou seja,
2i + j = 4,
com i, j, k inteiros não negativos satisfazendo i+j+k=6.

Passo 3

Resolvendo 2i+j=4 com i,j\ge0 e definindo k=6-(i+j)\ge0, temos as soluções:
  • i=0, então j=4 e k=2.
  • i=1, então j=2 e k=3.
  • i=2, então j=0 e k=4.

Passo 4

Agora calculamos a contribuição de cada caso:
Para i=0,j=4,k=2:
\frac{6!}{0!\,4!\,2!}(-1)^{4}2^{2} =15\cdot1\cdot4=60.
Para i=1,j=2,k=3:
\frac{6!}{1!\,2!\,3!}(-1)^{2}2^{3} =60\cdot1\cdot8=480.
Para i=2,j=0,k=4:
\frac{6!}{2!\,0!\,4!}(-1)^{0}2^{4} =15\cdot1\cdot16=240.

Passo 5

Somando as contribuições obtemos
60 + 480 + 240 = 780.

Resposta

O coeficiente de x^{4} em (x^{2}-x+2)^{6} é 780.

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