Calcule \sum_{k=0}^{n}(k+1) C_{n}^{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}.
Informações dadas:
  • A soma é indexada por k indo de 0 até n.
  • Em cada termo aparece o coeficiente binomial \binom{n}{k} multiplicado por k+1.
    A tarefa é encontrar uma expressão simples (fechada) em função de n que seja igual a essa soma.

Passo 2

Primeiro, lembrar duas identidades básicas envolvendo coeficientes binomiais (vindas do teorema do binômio). O coeficiente binomial é definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
que conta quantas maneiras de escolher k elementos dentre n. O teorema do binômio diz que, para todo x,
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k.
Uma aplicação imediata é obter a soma de todos os \binom{n}{k} colocando x=1. Assim,
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=(1+1)^n=2^n.
Vou usar isso mais adiante.

Passo 3

Agora precisamos da soma ponderada \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}. A maneira elegante (e curta) de obter isso é diferenciar a identidade do binômio em relação a x. Diferenciando
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k
obtemos, pelo lado esquerdo (regra da cadeia),
\frac{d}{dx}(1+x)^n=n(1+x)^{n-1},
e pelo lado direito (derivada termo a termo),
\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k-1}.
Portanto
n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k-1}.

Passo 4

Multiplico a igualdade do Passo 3 por x para alinhar as potências:
n x(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}.
Agora avalio essa igualdade em x=1. No lado esquerdo fica
n\cdot 1\cdot(1+1)^{n-1}=n\cdot 2^{n-1}.
No lado direito, como 1^k=1, fica exatamente a soma que queremos para os termos com k:
\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}.
Logo concluímos a identidade útil
\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n2^{n-1}.

Passo 5

A soma original é \sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}. Separei em duas somas:
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
Pelo Passo 4 sabemos que \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n2^{n-1}. Pelo Passo 2 sabemos que \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n. Somando:
\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}=n2^{n-1}+2^n.
Fatorando 2^{n-1}:
n2^{n-1}+2^n=2^{n-1}\bigl(n+2\bigr).

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico para ver que faz sentido. Para n=3:
\sum_{k=0}^{3}(k+1)\binom{3}{k}=1\cdot\binom{3}{0}+2\cdot\binom{3}{1}+3\cdot\binom{3}{2}+4\cdot\binom{3}{3}
=1\cdot1+2\cdot3+3\cdot3+4\cdot1=1+6+9+4=20.
A fórmula dá 2^{3-1}(3+2)=4\cdot5=20. Confere.

Resposta

2^{\,n-1}(n+2)

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