Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas:
- A soma é indexada por
indo de até . - Em cada termo aparece o coeficiente binomial
multiplicado por .
A tarefa é encontrar uma expressão simples (fechada) em função deque seja igual a essa soma.
Passo 2
Primeiro, lembrar duas identidades básicas envolvendo coeficientes binomiais (vindas do teorema do binômio). O coeficiente binomial é definido por
que conta quantas maneiras de escolher
elementos dentre
. O teorema do binômio diz que, para todo
,
Uma aplicação imediata é obter a soma de todos os
colocando
. Assim,
Vou usar isso mais adiante.
Passo 3
Agora precisamos da soma ponderada
. A maneira elegante (e curta) de obter isso é diferenciar a identidade do binômio em relação a
. Diferenciando
obtemos, pelo lado esquerdo (regra da cadeia),
e pelo lado direito (derivada termo a termo),
Portanto
Passo 4
Multiplico a igualdade do Passo 3 por
para alinhar as potências:
Agora avalio essa igualdade em
. No lado esquerdo fica
No lado direito, como
, fica exatamente a soma que queremos para os termos com
:
Logo concluímos a identidade útil
Passo 5
A soma original é
. Separei em duas somas:
Pelo Passo 4 sabemos que
. Pelo Passo 2 sabemos que
. Somando:
Fatorando
:
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico para ver que faz sentido. Para
:
A fórmula dá
. Confere.