Quantos coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?

Passo 1

O enunciado dá que há 7 ingredientes distintos e pede quantos coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos. Informações relevantes e suposições explícitas que vou usar:
  • Há exatamente 7 ingredientes distintos.
  • Um coquetel é uma mistura de pelo menos 2 ingredientes (ou seja, tamanho da mistura k satisfaz k\ge2).
  • Não se importa com a ordem dos ingredientes na mistura (por exemplo, a mistura {A,B} é a mesma que {B,A}).
  • Não há repetição de um ingrediente dentro de uma mistura (cada ingrediente aparece no máximo uma vez).
As perguntas que o enunciado faz:
  • Quantos subconjuntos de tamanho pelo menos 2 existem dentro de um conjunto de 7 elementos?

Passo 2

Modelagem combinatória: cada coquetel corresponde a um subconjunto do conjunto de 7 ingredientes, com tamanho k entre 2 e 7. Como a ordem não importa, devemos usar combinações (coeficientes binomiais). Vou explicar o que é o coeficiente binomial e por que ele serve aqui.
Definição e interpretação do coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
onde n! (fatorial) é o produto n!=(n)(n-1)\cdots(2)(1). O número \binom{n}{k} conta quantas formas diferentes existem de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, quando a ordem não importa. No nosso caso n=7 e k varia de 2 a 7.

Passo 3

Estratégia prática (método do complemento): é mais rápido contar todas as escolhas possíveis (incluindo as vazias e de um elemento) e subtrair as indesejadas (tamanhos 0 e 1).
O número total de subconjuntos de um conjunto com 7 elementos é
2^{7}.
Isso vem do fato que cada elemento pode entrar ou não no subconjunto (duas opções) e são 7 decisões independentes.
Agora subtraímos os subconjuntos que não são coquetéis válidos:
  • O subconjunto vazio: \binom{7}{0}=1.
  • Os subconjuntos de tamanho 1: \binom{7}{1}=7.
Portanto o número de coquetéis é
2^{7}-\binom{7}{0}-\binom{7}{1}.

Passo 4

Cálculo numérico do complemento:
2^{7}=128, \qquad \binom{7}{0}=1, \qquad \binom{7}{1}=7.
Subtraindo:
128-1-7=120.

Passo 5

Verificação alternativa (somando combinações): podemos somar diretamente as combinações para cada tamanho permitido:
\binom{7}{2}+\binom{7}{3}+\binom{7}{4}+\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}.
Calculando cada termo (útil para fixar o conceito):
\binom{7}{2}=21,\quad \binom{7}{3}=35,\quad \binom{7}{4}=35,
\binom{7}{5}=21,\quad \binom{7}{6}=7,\quad \binom{7}{7}=1.
Somando:
21+35+35+21+7+1=120,
o que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando pedirem “quantas maneiras de escolher pelo menos r elementos” ou similares, frequentemente é mais curto usar 2^n (total de subconjuntos) e subtrair os casos proibidos (complemento). Memorize também a fórmula \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} para cálculos diretos.

Resposta

120

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