Quantos coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?
Passo 1
O enunciado dá que há 7 ingredientes distintos e pede quantos coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos. Informações relevantes e suposições explícitas que vou usar:
- Há exatamente 7 ingredientes distintos.
- Um coquetel é uma mistura de pelo menos 2 ingredientes (ou seja, tamanho da mistura
satisfaz ). - Não se importa com a ordem dos ingredientes na mistura (por exemplo, a mistura {A,B} é a mesma que {B,A}).
- Não há repetição de um ingrediente dentro de uma mistura (cada ingrediente aparece no máximo uma vez).
As perguntas que o enunciado faz:
- Quantos subconjuntos de tamanho pelo menos 2 existem dentro de um conjunto de 7 elementos?
Passo 2
Modelagem combinatória: cada coquetel corresponde a um subconjunto do conjunto de 7 ingredientes, com tamanho
entre
e
. Como a ordem não importa, devemos usar combinações (coeficientes binomiais). Vou explicar o que é o coeficiente binomial e por que ele serve aqui.
Definição e interpretação do coeficiente binomial:
onde
(fatorial) é o produto
. O número
conta quantas formas diferentes existem de escolher
elementos de um conjunto com
elementos, quando a ordem não importa. No nosso caso
e
varia de
a
.
Passo 3
Estratégia prática (método do complemento): é mais rápido contar todas as escolhas possíveis (incluindo as vazias e de um elemento) e subtrair as indesejadas (tamanhos
e
).
O número total de subconjuntos de um conjunto com
elementos é
Isso vem do fato que cada elemento pode entrar ou não no subconjunto (duas opções) e são
decisões independentes.
Agora subtraímos os subconjuntos que não são coquetéis válidos:
- O subconjunto vazio:
. - Os subconjuntos de tamanho
: .
Portanto o número de coquetéis é
Passo 4
Cálculo numérico do complemento:
Subtraindo:
Passo 5
Verificação alternativa (somando combinações): podemos somar diretamente as combinações para cada tamanho permitido:
Calculando cada termo (útil para fixar o conceito):
Somando:
o que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando pedirem “quantas maneiras de escolher pelo menos
elementos” ou similares, frequentemente é mais curto usar
(total de subconjuntos) e subtrair os casos proibidos (complemento). Memorize também a fórmula
para cálculos diretos.