Em uma sala há 7 lámpadas. De quantos modos pode ser iluminada a sala?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: na sala há
lâmpadas. - Pergunta: de quantos modos a sala pode ser iluminada?
Observação importante (interpretação do enunciado): entender “iluminada” como situação em que a sala fica com pelo menos uma lâmpada ligada. Ou seja, descartamos o caso em que todas as lâmpadas estão apagadas, porque aí a sala não estaria iluminada.
Passo 2
Modelagem simples e ideia principal (sem pular etapas).
- Cada lâmpada tem duas possibilidades básicas: ligada ou desligada. Vou chamar essas possibilidades de “on” e “off”, mas em matemática isso significa exatamente dois estados. Para uma lâmpada há
opções. - Quando há várias lâmpadas, e as escolhas para cada uma são independentes (o estado de uma não impede os estados das outras), o número total de combinações é o produto do número de opções de cada lâmpada. Esse é o princípio multiplicativo (ou regra do produto): se você tem
opções para uma coisa e opções para outra, no total são opções combinadas. - Aplicando ao nosso caso: como são
lâmpadas e cada uma tem estados, o número total de configurações possíveis (ligadas/desligadas) é
Exemplo pequeno para fixar: para
lâmpada há
modos (
ou
). Para
lâmpadas há
modos:
.
Passo 3
Contagem do caso que interessa (pelo menos uma ligada).
- No total há
configurações possíveis contando também a configuração em que todas estão apagadas. - A configuração em que todas as lâmpadas estão apagadas é exatamente 1 configuração (o caso
). Como queremos apenas modos em que a sala fique iluminada (ou seja, pelo menos uma ligada), devemos retirar essa configuração. - Portanto o número de modos que iluminam a sala é
Passo 4
Cálculo final e generalização, com um exemplo numérico para você ver “ao vivo” os números.
- Calculemos
:
- Subtraindo a configuração todas apagadas:
Generalização rápida (útil na prova): se houver
lâmpadas, o número de modos de iluminar a sala (pelo menos uma ligada) é
.
Você está indo bem — a ideia é sempre modelar cada elemento com seus estados e usar a regra do produto. No caso de dúvidas em outras questões parecidas, me manda que a gente resolve juntas/os passo a passo.
Resposta
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