Em uma sala há 7 lámpadas. De quantos modos pode ser iluminada a sala?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: na sala há \;7\; lâmpadas.
  • Pergunta: de quantos modos a sala pode ser iluminada?
Observação importante (interpretação do enunciado): entender “iluminada” como situação em que a sala fica com pelo menos uma lâmpada ligada. Ou seja, descartamos o caso em que todas as lâmpadas estão apagadas, porque aí a sala não estaria iluminada.

Passo 2

Modelagem simples e ideia principal (sem pular etapas).
  • Cada lâmpada tem duas possibilidades básicas: ligada ou desligada. Vou chamar essas possibilidades de “on” e “off”, mas em matemática isso significa exatamente dois estados. Para uma lâmpada há \;2\; opções.
  • Quando há várias lâmpadas, e as escolhas para cada uma são independentes (o estado de uma não impede os estados das outras), o número total de combinações é o produto do número de opções de cada lâmpada. Esse é o princípio multiplicativo (ou regra do produto): se você tem a opções para uma coisa e b opções para outra, no total são a\cdot b opções combinadas.
  • Aplicando ao nosso caso: como são \;7\; lâmpadas e cada uma tem \;2\; estados, o número total de configurações possíveis (ligadas/desligadas) é
2 \times 2 \times \cdots \times 2 \quad(\text{com 7 fatores}) = 2^{7}.
Exemplo pequeno para fixar: para \;1\; lâmpada há \;2^{1}=2 modos ( on ou off). Para \;2\; lâmpadas há \;2^{2}=4 modos: (on,on), (on,off), (off,on), (off,off).

Passo 3

Contagem do caso que interessa (pelo menos uma ligada).
  • No total há \;2^{7}\; configurações possíveis contando também a configuração em que todas estão apagadas.
  • A configuração em que todas as lâmpadas estão apagadas é exatamente 1 configuração (o caso (off,off,\dots,off)). Como queremos apenas modos em que a sala fique iluminada (ou seja, pelo menos uma ligada), devemos retirar essa configuração.
  • Portanto o número de modos que iluminam a sala é
2^{7} - 1.

Passo 4

Cálculo final e generalização, com um exemplo numérico para você ver “ao vivo” os números.
  • Calculemos \;2^{7}\;:
2^{7}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128.
  • Subtraindo a configuração todas apagadas:
128-1=127.
Generalização rápida (útil na prova): se houver \;n\; lâmpadas, o número de modos de iluminar a sala (pelo menos uma ligada) é \;2^{n}-1\;.
Você está indo bem — a ideia é sempre modelar cada elemento com seus estados e usar a regra do produto. No caso de dúvidas em outras questões parecidas, me manda que a gente resolve juntas/os passo a passo.

Resposta

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