Calcule
\sum_{i=1}^{5}\left(2 i^{2}+i\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{i=1}^{5}\left(2 i^{2}+i\right).
Informações dadas: a expressão dentro da soma é 2 i^{2}+i e o índice i vai de 1 até 5. O objetivo é obter um único número (a soma dos cinco termos).

Passo 2

Uma propriedade muito útil de somatórios é a linearidade. Vou enunciá-la e explicar o que significa:
\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i,
ou seja, a soma de uma soma termo a termo é a soma das somas separadas. Também vale que, para constante c,
\sum_{i=1}^{n} c\,a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i.
Aqui n é o número de termos (até onde somamos) e a_i,b_i são os termos dependentes de i. Essas propriedades nos permitem decompor a soma complicada em somas mais simples.

Passo 3

Usando a linearidade, escrevemos
\sum_{i=1}^{5}\left(2 i^{2}+i\right)=2\sum_{i=1}^{5} i^{2}+\sum_{i=1}^{5} i.
Agora o problema reduz-se a calcular \sum_{i=1}^{5} i e \sum_{i=1}^{5} i^{2}.

Passo 4

Vou apresentar duas fórmulas padrão e explicar o que cada símbolo significa.
Fórmula 1 (soma dos primeiros n inteiros):
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}.
Aqui n é o último índice da soma; por exemplo, para n=5 a soma é 1+2+3+4+5.
Fórmula 2 (soma dos quadrados dos primeiros n inteiros):
\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Novamente n é o último índice; essa fórmula dá 1^{2}+2^{2}+\dots+n^{2}. Essas fórmulas são resultados clássicos: a primeira pode ser justificada por pareamento dos termos; a segunda pode ser obtida por indução ou por manipulações algébricas — aqui usamos o resultado pronto.

Passo 5

Calcule \sum_{i=1}^{5} i aplicando a Fórmula 1 com n=5:
\sum_{i=1}^{5} i = \frac{5\cdot(5+1)}{2}=\frac{5\cdot 6}{2}= \frac{30}{2}=15.

Passo 6

Calcule \sum_{i=1}^{5} i^{2} aplicando a Fórmula 2 com n=5:
\sum_{i=1}^{5} i^{2} = \frac{5\cdot(5+1)\cdot(2\cdot 5+1)}{6}=\frac{5\cdot 6\cdot 11}{6}.
Cancelei o 6 e obtive
\sum_{i=1}^{5} i^{2}=5\cdot 11=55.

Passo 7

Agora volte à soma original:
2\sum_{i=1}^{5} i^{2}+\sum_{i=1}^{5} i = 2\cdot 55 + 15 = 110 + 15 = 125.

Passo 8

Verificação direta (opcional, mas bom para confiança): calcule termo a termo e some.
Para i=1 temos 2\cdot1^{2}+1=3.
Para i=2 temos 2\cdot2^{2}+2=10.
Para i=3 temos 2\cdot3^{2}+3=21.
Para i=4 temos 2\cdot4^{2}+4=36.
Para i=5 temos 2\cdot5^{2}+5=55.
Somando 3+10+21+36+55=125, que confirma o resultado anterior.

Resposta

125

Exercícios relacionados