Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas: a expressão dentro da soma é
e o índice
vai de
até
. O objetivo é obter um único número (a soma dos cinco termos).
Passo 2
Uma propriedade muito útil de somatórios é a linearidade. Vou enunciá-la e explicar o que significa:
ou seja, a soma de uma soma termo a termo é a soma das somas separadas. Também vale que, para constante
,
Aqui
é o número de termos (até onde somamos) e
são os termos dependentes de
. Essas propriedades nos permitem decompor a soma complicada em somas mais simples.
Passo 3
Usando a linearidade, escrevemos
Agora o problema reduz-se a calcular
e
.
Passo 4
Vou apresentar duas fórmulas padrão e explicar o que cada símbolo significa.
Fórmula 1 (soma dos primeiros
inteiros):
Aqui
é o último índice da soma; por exemplo, para
a soma é
.
Fórmula 2 (soma dos quadrados dos primeiros
inteiros):
Novamente
é o último índice; essa fórmula dá
. Essas fórmulas são resultados clássicos: a primeira pode ser justificada por pareamento dos termos; a segunda pode ser obtida por indução ou por manipulações algébricas — aqui usamos o resultado pronto.
Passo 5
Calcule
aplicando a Fórmula 1 com
:
Passo 6
Calcule
aplicando a Fórmula 2 com
:
Cancelei o
e obtive
Passo 7
Agora volte à soma original:
Passo 8
Verificação direta (opcional, mas bom para confiança): calcule termo a termo e some.
Para temos
.
Para temos
.
Para temos
.
Para temos
.
Para temos
.
Somando , que confirma o resultado anterior.
Para
Para
Para
Para
Para
Somando