Dê uma definição recursiva da
, com
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida explicitamente por
para
e pede uma definição recursiva dessa sequência.\n
Informações relevantes fornecidas:
para todo
.
A tarefa é transformar essa fórmula explícita numa forma recursiva (ou seja, dar um valor inicial e uma relação que determine a partir de termos anteriores).
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é transformar essa fórmula explícita numa forma recursiva (ou seja, dar um valor inicial e uma relação que determine
Passo 2
O que é uma definição recursiva de sequência? Vou explicar com calma:\n
- Uma definição recursiva precisa de duas partes essenciais:\n
- Um caso base (ou valores iniciais): um ou mais termos iniciais explícitos, por exemplo
. Esse caso base é necessário para começar a gerar a sequência.\n - Uma relação de recorrência: uma fórmula que dá
em função de um ou mais termos anteriores, por exemplo para maior que um certo índice.\n
Explicando as peças: o caso base fornece o primeiro bloco de informação; a relação de recorrência permite calcular qualquer termo seguinte a partir dos já conhecidos. Nosso objetivo é encontrar essas duas peças a partir da expressão explícita.
- Um caso base (ou valores iniciais): um ou mais termos iniciais explícitos, por exemplo
Passo 3
Vamos procurar uma relação entre
e
. Use a expressão explícita e manipule-a:\n
Como
, podemos substituir e obter a relação
Essa é a relação de recorrência que queremos: cada termo (a partir do segundo) é 10 vezes o termo anterior.
Passo 4
Precisamos também do caso base. Pegando
na fórmula explícita:
Então o valor inicial (caso base) é
.
Passo 5
Verificação rápida e exemplos práticos para fixar:\n
- Usando a definição recursiva proposta,
, o que bate com .\n - Em seguida,
, que é .\n
Prova por indução (curtinha) de que a definição recursiva produz exatamente:\n
Base: paratemos , ok.\n
Passo indutivo: suponha que para algumvalha . Então
logo vale para
. Assim, por indução, a recorrência com o caso base gera exatamente
para todo
.