Dê uma definição recursiva da \left\{a_{n}\right\}, com n=1,2,3, \ldots
a_{n}=10^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida explicitamente por \;a_n = 10^{n}\; para n=1,2,3,\ldots e pede uma definição recursiva dessa sequência.\n
Informações relevantes fornecidas:
\;a_n = 10^{n} para todo n\in\{1,2,3,\ldots\}.
A tarefa é transformar essa fórmula explícita numa forma recursiva (ou seja, dar um valor inicial e uma relação que determine a_n a partir de termos anteriores).

Passo 2

O que é uma definição recursiva de sequência? Vou explicar com calma:\n
  • Uma definição recursiva precisa de duas partes essenciais:\n
    1. Um caso base (ou valores iniciais): um ou mais termos iniciais explícitos, por exemplo a_1 = \text{algo}. Esse caso base é necessário para começar a gerar a sequência.\n
    2. Uma relação de recorrência: uma fórmula que dá a_n em função de um ou mais termos anteriores, por exemplo a_n = f(a_{n-1},a_{n-2},\ldots) para n maior que um certo índice.\n
      Explicando as peças: o caso base fornece o primeiro bloco de informação; a relação de recorrência permite calcular qualquer termo seguinte a partir dos já conhecidos. Nosso objetivo é encontrar essas duas peças a partir da expressão explícita \;a_n = 10^{n}.

Passo 3

Vamos procurar uma relação entre a_n e a_{n-1}. Use a expressão explícita e manipule-a:\n
a_n = 10^{n} = 10\cdot 10^{n-1}.
Como 10^{n-1} = a_{n-1}, podemos substituir e obter a relação
a_n = 10\cdot a_{n-1}.
Essa é a relação de recorrência que queremos: cada termo (a partir do segundo) é 10 vezes o termo anterior.

Passo 4

Precisamos também do caso base. Pegando n=1 na fórmula explícita:
a_1 = 10^{1} = 10.
Então o valor inicial (caso base) é \;a_1 = 10.

Passo 5

Verificação rápida e exemplos práticos para fixar:\n
  • Usando a definição recursiva proposta, \;a_2 = 10\cdot a_1 = 10\cdot 10 = 100, o que bate com 10^{2}.\n
  • Em seguida, \;a_3 = 10\cdot a_2 = 10\cdot 100 = 1000, que é 10^{3}.\n
    Prova por indução (curtinha) de que a definição recursiva produz exatamente \;a_n=10^{n}:\n
    Base: para n=1 temos a_1=10=10^{1}, ok.\n
    Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha a_k=10^{k}. Então
a_{k+1}=10\cdot a_k = 10\cdot 10^{k} = 10^{k+1},
logo vale para k+1. Assim, por indução, a recorrência com o caso base gera exatamente a_n=10^{n} para todo n.

Resposta

\;a_1 = 10\n
\;a_n = 10\,a_{n-1} para n\ge2

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