Calcule sup e inf (se existirem) dos subconjuntos de R abaixo:
a) Conjuntos N e Q;
b) conjunto X=1n: n in N.
c) conjunto Y=[0,1) cup3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o supremo (sup) e o ínfimo (inf) de alguns conjuntos de números reais. Vamos trabalhar com três partes: os conjuntos dos números naturais N e dos números racionais Q, o conjunto X=1n: n in N, e o conjunto Y=[0,1) cup3. Para isso, vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo, além de conhecer um pouco sobre os conjuntos mencionados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos desse conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Nem todo conjunto tem supremo ou ínfimo, então vamos verificar isso para cada caso.

Passo 3

a) Conjuntos N e Q

Conjunto dos Números Naturais N:
Os números naturais são N = 1, 2, 3, 4, dots.
  • Infimum (Inf): O menor número em N é 1. Não tem nenhum número menor que 1 nesse conjunto, então inf(N) = 1.
  • Supremum (Sup): Como os números naturais continuam aumentando sem limite, não existe um maior elemento. Portanto, o supremo de N não existe ou é considerado +infty.
Conjunto dos Números Racionais Q:
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos como fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0.
  • Infimum (Inf): Os racionais vão indo para menos infinito, então não há um menor número. Logo, inf(Q) não existe.
  • Supremum (Sup): Similarmente, os racionais também vão para mais infinito, então sup(Q) não existe.

Passo 4

b) Conjunto X=1n: n in N

Vamos olhar para os elementos de X. Por exemplo, para n=1, temos 11=1; para n=2, 12=0,5; para n=3, 13 approx 0,333; e assim por diante. Conforme n aumenta, 1n fica menor e se aproxima de 0.
  • Infimum (Inf): O menor valor que as frações 1n alcançam é 0, mas 0 não está incluído no conjunto. Porém, como os elementos se aproximam de 0, o infimum é 0.
  • Supremum (Sup): O maior valor de 1n ocorre quando n=1, que é 1. Então, sup(X) = 1.

Passo 5

c) Conjunto Y=[0,1) cup3

Este conjunto é a união do intervalo [0,1) com o número 3. Ou seja, inclui todos os números de 0 até, mas não incluindo, 1, mais o número 3.
  • Infimum (Inf): O menor número no conjunto é 0. Então, inf(Y) = 0.
  • Supremum (Sup): O maior número no conjunto é 3. Mesmo que o intervalo [0,1) se aproxime de 1, o número 3 está incluído e é o maior. Portanto, sup(Y) = 3.

Resposta

a) Para N: inf(N) = 1, sup(N) não existe; Para Q: inf(Q) e sup(Q) não existem.
b) Para X=1n: n in N: inf(X) = 0, sup(X) = 1.
c) Para Y=[0,1) cup3: inf(Y) = 0, sup(Y) = 3.

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