Calcule sup e inf (se existirem) dos subconjuntos de
abaixo:
a) Conjuntos
e
;
b) conjunto
.
c) conjunto
.
a) Conjuntos
b) conjunto
c) conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o supremo (sup) e o ínfimo (inf) de alguns conjuntos de números reais. Vamos trabalhar com três partes: os conjuntos dos números naturais
e dos números racionais
, o conjunto
, e o conjunto
. Para isso, vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo, além de conhecer um pouco sobre os conjuntos mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos desse conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Nem todo conjunto tem supremo ou ínfimo, então vamos verificar isso para cada caso.
Passo 3
a) Conjuntos
e
Conjunto dos Números Naturais
:
Os números naturais são
.
-
Infimum (Inf): O menor número em
é 1. Não tem nenhum número menor que 1 nesse conjunto, então . -
Supremum (Sup): Como os números naturais continuam aumentando sem limite, não existe um maior elemento. Portanto, o supremo de
não existe ou é considerado .
Conjunto dos Números Racionais
:
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos como fração
, onde
e
são inteiros e
.
-
Infimum (Inf): Os racionais vão indo para menos infinito, então não há um menor número. Logo,
não existe. -
Supremum (Sup): Similarmente, os racionais também vão para mais infinito, então
não existe.
Passo 4
b) Conjunto
Vamos olhar para os elementos de
. Por exemplo, para
, temos
; para
,
; para
,
; e assim por diante. Conforme
aumenta,
fica menor e se aproxima de 0.
-
Infimum (Inf): O menor valor que as frações
alcançam é 0, mas 0 não está incluído no conjunto. Porém, como os elementos se aproximam de 0, o infimum é 0. -
Supremum (Sup): O maior valor de
ocorre quando , que é 1. Então, .
Passo 5
c) Conjunto
Este conjunto é a união do intervalo
com o número 3. Ou seja, inclui todos os números de 0 até, mas não incluindo, 1, mais o número 3.
-
Infimum (Inf): O menor número no conjunto é 0. Então,
. -
Supremum (Sup): O maior número no conjunto é 3. Mesmo que o intervalo
se aproxime de 1, o número 3 está incluído e é o maior. Portanto, .
Resposta
a) Para
:
,
não existe; Para
:
e
não existem.
b) Para
:
,
.
c) Para
:
,
.