Se
for uma função diferenciável de
e
e
,
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como as derivadas parciais
e
de
se escrevem em termos de
e
ao usar a mudança de coordenadas
,
. O conteúdo é derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, como
, aplicamos a regra da cadeia para as derivadas em relação a
e
. Em teoria, sempre que
e
dependem de outras variáveis, dizemos que
Passo 3
Calculamos agora as derivadas de
e
:
Passo 4
Para achar
e
isoladamente, resolvemos esse sistema. Por exemplo, multiplicando a primeira equação por
e subtraindo a segunda dividida por
vezes
, usamos
e obtemos
$$
u_x=\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\operatorname{sen}\theta.$$De forma análoga, combinando as equações adequadamente, chegamos a
$$
u_y=\frac{\partial u}{\partial r}\operatorname{sen}\theta-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta.$$
Passo 5
Essas expressões são exatamente as relações pedidas no enunciado, completando a demonstração.