Se f for uma função diferenciável de x e y e u=f(x, y), x=r cos theta e y=r sen theta, mostre que
l partial upartial x=partial upartial r cos theta-partial upartial theta sen thetar partial upartial y=partial upartial r sen theta-partial upartial theta cos thetar

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como as derivadas parciais ux e uy de u=f(x,y) se escrevem em termos de ur=partial u/partial r e utheta=partial u/partial theta ao usar a mudança de coordenadas x=rcostheta, y=rsentheta. O conteúdo é derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, como u=f(x(r,theta),y(r,theta)), aplicamos a regra da cadeia para as derivadas em relação a r e theta. Em teoria, sempre que u=f(x,y) e x,y dependem de outras variáveis, dizemos que
partial upartial r=partial upartial xpartial xpartial r+partial upartial ypartial ypartial r,
partial upartial theta=partial upartial xpartial xpartial theta+partial upartial ypartial ypartial theta

Passo 3

Calculamos agora as derivadas de x e y:
partial xpartial r=costheta,partial ypartial r=sentheta, partial xpartial theta=-rsentheta,partial ypartial theta=rcosthetaSubstituindo na regra da cadeia, obtemos o sistema
partial upartial r=uxcostheta+uysentheta, partial upartial theta=-r,uxsentheta+r,uycostheta

Passo 4

Para achar ux e uy isoladamente, resolvemos esse sistema. Por exemplo, multiplicando a primeira equação por costheta e subtraindo a segunda dividida por r vezes sintheta, usamos cos^2theta+sin^2theta=1 e obtemos
$$
u_x=\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\operatorname{sen}\theta.$$De forma análoga, combinando as equações adequadamente, chegamos a
$$
u_y=\frac{\partial u}{\partial r}\operatorname{sen}\theta-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}\cos\theta.$$

Passo 5

Essas expressões são exatamente as relações pedidas no enunciado, completando a demonstração.

Resposta

partial upartial x=partial upartial rcostheta-partial upartial thetasenthetar, partial upartial y=partial upartial rsentheta-partial upartial thetacosthetar

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