Considere os seguintes conjuntos:
a) Considerando eles subconjuntos do corpo ordenado
, calcule, se existirem,
,
e
; caso contrário, explique porque não existem.
b) Considerando eles subconjuntos do corpo ordenado
, calcule, se existirem,
,
e
; caso contrário, explique porque não existem.
b) Considerando eles subconjuntos do corpo ordenado
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que trata de conjuntos de números racionais e reais, e pede para calcular o supremo (sup) e o ínfimo (inf) desses conjuntos dentro dos corpos ordenados dos racionais (
) e dos reais (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo, além de como eles se comportam nesses diferentes conjuntos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Esses conceitos são importantes para analisar os limites dos conjuntos.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto A:
Isso significa que A contém todos os números racionais positivos cujo quadrado é maior que 2.
Passo 4
Agora, o conjunto B:
Aqui, B contém todos os números racionais positivos cujo quadrado é menor que 2.
Passo 5
Vamos resolver a parte a) do exercício, considerando
e
como subconjuntos de
.
Primeiro, para o supremo de A (
): estamos procurando o menor número racional que é maior que todos os elementos de A. Note que
está fora de
, então não podemos usá-lo. Isso significa que dentro dos racionais, não existe um supremo para A, pois sempre podemos encontrar um número racional maior que qualquer candidato que escolhemos.
Passo 6
Para o ínfimo de A (
): queremos o maior número racional que é menor que todos os elementos de A. Sabemos que o menor elemento em A é um pouco maior que
. Contudo, como
não é racional, o ínfimo de A também não existe em
.
Passo 7
Agora, para o supremo de B (
): aqui procuramos o menor número racional que é maior que todos os elementos de B. Novamente,
não está em
, então não há um supremo racional para B dentro de
.
Passo 8
Finalmente, para o ínfimo de B (
): queremos o maior número racional que é menor que todos os elementos de B. O menor elemento de B seria próximo de 0, mas como 0 não está incluído (x > 0), o ínfimo de B é 0. 0 está em
, então
.
Resposta
a) No corpo ordenado
:
-
não existe. -
não existe. -
não existe. -
.