Considere os seguintes conjuntos:
A=x in Q: x^2>2 e x>0 e B=x in Q: x^2<2 e x>0
a) Considerando eles subconjuntos do corpo ordenado Q, calcule, se existirem, sup (A), inf (A), inf (B) e sup (B); caso contrário, explique porque não existem.
b) Considerando eles subconjuntos do corpo ordenado R, calcule, se existirem, sup (A), inf (A), inf (B) e sup (B); caso contrário, explique porque não existem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que trata de conjuntos de números racionais e reais, e pede para calcular o supremo (sup) e o ínfimo (inf) desses conjuntos dentro dos corpos ordenados dos racionais ( Q) e dos reais ( R). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são supremo e ínfimo, além de como eles se comportam nesses diferentes conjuntos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Esses conceitos são importantes para analisar os limites dos conjuntos.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto A:
A = x in Q : x^2 > 2 e x > 0
Isso significa que A contém todos os números racionais positivos cujo quadrado é maior que 2.

Passo 4

Agora, o conjunto B:
B = x in Q : x^2 < 2 e x > 0
Aqui, B contém todos os números racionais positivos cujo quadrado é menor que 2.

Passo 5

Vamos resolver a parte a) do exercício, considerando A e B como subconjuntos de Q.
Primeiro, para o supremo de A ( sup(A)): estamos procurando o menor número racional que é maior que todos os elementos de A. Note que raiz2 está fora de Q, então não podemos usá-lo. Isso significa que dentro dos racionais, não existe um supremo para A, pois sempre podemos encontrar um número racional maior que qualquer candidato que escolhemos.

Passo 6

Para o ínfimo de A ( inf(A)): queremos o maior número racional que é menor que todos os elementos de A. Sabemos que o menor elemento em A é um pouco maior que raiz2. Contudo, como raiz2 não é racional, o ínfimo de A também não existe em Q.

Passo 7

Agora, para o supremo de B ( sup(B)): aqui procuramos o menor número racional que é maior que todos os elementos de B. Novamente, raiz2 não está em Q, então não há um supremo racional para B dentro de Q.

Passo 8

Finalmente, para o ínfimo de B ( inf(B)): queremos o maior número racional que é menor que todos os elementos de B. O menor elemento de B seria próximo de 0, mas como 0 não está incluído (x > 0), o ínfimo de B é 0. 0 está em Q, então inf(B) = 0.

Resposta

a) No corpo ordenado Q:
  • sup(A) não existe.
  • inf(A) não existe.
  • sup(B) não existe.
  • inf(B) = 0.

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