Calcule
em que
, em que
é a superfície definida por
, com o vetor normal apontando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
onde o campo vetorial é
. A superfície
é um cilindro definido por
e
, com o vetor normal apontando para fora. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é um cilindro de raio
(já que
) e altura de
a
em
. Essa superfície lateral do cilindro pode ser parametrizada usando coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o raio
,
varia de
a
, e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal
que aponta para fora da superfície. No caso do cilindro, o vetor normal na superfície lateral é radial e dado por:
O elemento de área diferencial
é dado por:
onde
é a área diferencial. Para a superfície lateral do cilindro, temos:
Então,
Passo 4
Vamos agora expressar o campo vetorial
na parametrização cilíndrica. Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo:
Passo 7
Vamos resolver a integral em duas partes separadas:
Primeira integral:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Segunda integral:
Usando a identidade
, temos:
Passo 8
Agora, combinando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.