Calcule integralegral duplaSF cdot d S em que F(x, y, z)=lang<= y, x^2 y, e^x zrang<=, em que S é a superfície definida por x^2+y^2=9,-3 <= z <= 3, com o vetor normal apontando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaSF cdot d S onde o campo vetorial é F(x, y, z)=lang<= y, x^2 y, e^x zrang<=. A superfície S é um cilindro definido por x^2+y^2=9 e -3 <= z <= 3, com o vetor normal apontando para fora. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é um cilindro de raio 3 (já que x^2+y^2=9) e altura de -3 a 3 em z. Essa superfície lateral do cilindro pode ser parametrizada usando coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
Aqui, o raio r = 3, theta varia de 0 a 2pi, e z varia de -3 a 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal n que aponta para fora da superfície. No caso do cilindro, o vetor normal na superfície lateral é radial e dado por:
n = lang<= cos theta, sin theta, 0 rang<=
O elemento de área diferencial dS é dado por:
dS = n , dS
onde dS é a área diferencial. Para a superfície lateral do cilindro, temos:
dS = r , dtheta , dz = 3 , dtheta , dz
Então,
dS = 3 lang<= cos theta, sin theta, 0 rang<= , dtheta , dz

Passo 4

Vamos agora expressar o campo vetorial F na parametrização cilíndrica. Substituindo x = 3 cos theta e y = 3 sin theta na expressão de F, temos:
F(x, y, z) = lang<= y, x^2 y, e^x z rang<= = lang<= 3 sin theta, (3 cos theta)^2 cdot 3 sin theta, e^3 cos theta cdot z rang<= = lang<= 3 sin theta, 27 cos^2 theta sin theta, e^3 cos theta z rang<=

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dS:
F cdot dS = lang<= 3 sin theta, 27 cos^2 theta sin theta, e^3 cos theta z rang<= cdot lang<= 3 cos theta, 3 sin theta, 0 rang<= rang<= dtheta dz
Calculando o produto escalar:
F cdot dS = (3 sin theta)(3 cos theta) + (27 cos^2 theta sin theta)(3 sin theta) + (e^3 cos theta z)(0) = 9 sin theta cos theta + 81 cos^2 theta sin^2 theta + 0 = 9 sin theta cos theta + 81 cos^2 theta sin^2 theta

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo:
integral duplaS F cdot dS = integralz=-3^3 integraltheta=0^2pi (9 sin theta cos theta + 81 cos^2 theta sin^2 theta ) dtheta dz

Passo 7

Vamos resolver a integral em duas partes separadas:
  1. integral0^2pi 9 sin theta cos theta , dtheta
  2. integral0^2pi 81 cos^2 theta sin^2 theta , dtheta
Primeira integral:
integral0^2pi 9 sin theta cos theta , dtheta
Usando a identidade trigonométrica 2 sin theta cos theta = sin 2theta, temos:
9 cdot 12 integral0^2pi sin 2theta , dtheta = 92 [ -12 cos 2theta ]0^2pi = 0
Segunda integral:
integral0^2pi 81 cos^2 theta sin^2 theta , dtheta
Usando a identidade sin^2 theta cos^2 theta = 14 sin^2 2theta, temos:
81 cdot 14 integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta = 814 cdot pi = 81pi4

Passo 8

Agora, combinando os resultados das integrais:
integral duplaS F cdot dS = integral-3^3 (0 + 81pi4 ) dz = 81pi4 cdot (3 - (-3)) = 81pi4 cdot 6 = 486pi4 = 243pi2

Resposta

O valor da integral de superfície é dfrac2432 pi.

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