Seja F(x, y, z)=sin (x^2) i+(cos y+x^2) j+(sin z+y)) k e seja gamma a curva interseção do elipsoide x^2+2 y^2+z^2=4 com o plano x+z=2 orientada de maneira tal que sua projeção no plano x y seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule integralgamma F cdot d r.
pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralgammaFcdot dr
onde
F(x,y,z)=sinl(x^2r),i ;+;l(cos y + x^2r),j;+;l(sin z + yr),k
e gamma é a curva fechada dada pela interseção do elipsoide
,x^2 + 2y^2 + z^2 = 4, com o plano ,x+z=2, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
ointgammaFcdot dr ;=; integral duplaS (nablatimesF)cdot n,dS,
once S é uma superfície cujo contorno é gamma.

Passo 2

Calculemos o rotacional nablatimesF. Escrevendo
F=(P,Q,R) com
P=sin(x^2), Q=cos y + x^2, R=sin z + y,
temos
nablatimesF =l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z,; tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x,; tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr) =(1,,0,,2x)

Passo 3

Escolhemos S como a porção do plano x+z=2 limitada por gamma. Podemos parametrizar esse plano por
r(x,y) = (,x,;y,;2 - x,),
onde (x,y) varia sobre a projeção D de gamma no plano xy. A orientação vem de rxtimesry tal que a projeção da curva seja anti-horária.

Passo 4

Calculamos os vetores tangentes e o vetor área orientado:
rx = (1,0,-1), ry = (0,1,0) Longrightarrow rxtimesry = (1,0,1)
Assim
n,dS = rx times ry,dA = (1,0,1),dA

Passo 5

O integrando de Stokes é
(nablatimesF)cdot(rxtimesry) = (1,0,2x)cdot(1,0,1) = 1 + 2x
Logo
integralgammaFcdot dr = integral duplaD(1 + 2x),dA

Passo 6

Determinamos a região D a partir da projeção da interseção:
x^2 + 2y^2 + (2 - x)^2 = 4 ;Longrightarrow; 2x^2 - 4x + 2y^2 = 0 ;Longrightarrow; (x-1)^2 + y^2 = 1
Portanto D é o disco de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 7

Calculamos separadamente
integral duplaD1,dA = picdot1^2 = pi, integral duplaDx,dA = xcentro;times;área(D) = 1cdotpi = pi á
Daí
integral duplaD(1 + 2x),dA = pi + 2pi = 3pi

Resposta

integralgammaFcdot dr = 3pi

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