Seja
e seja
a curva interseção do elipsoide
com o plano
orientada de maneira tal que sua projeção no plano
seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
e
é a curva fechada dada pela interseção do elipsoide
, com o plano
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
once
é uma superfície cujo contorno é
.
Passo 2
Calculemos o rotacional
. Escrevendo
com
temos
Passo 3
Escolhemos
como a porção do plano
limitada por
. Podemos parametrizar esse plano por
onde
varia sobre a projeção
de
no plano
. A orientação vem de
tal que a projeção da curva seja anti-horária.
Passo 4
Calculamos os vetores tangentes e o vetor área orientado:
Assim
Passo 5
O integrando de Stokes é
Logo
Passo 6
Determinamos a região
a partir da projeção da interseção:
Portanto
é o disco de raio
centrado em
.
Passo 7
Calculamos separadamente
Daí