Seja F(x, y, z)=sin (x^2) i+(cos y+x^2) j+(sin z+y)) k e seja gamma a curva interseção do elipsoide x^2+2 y^2+z^2=4 com o plano x+z=2 orientada de maneira tal que sua projeção no plano x y seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule integralgamma F cdot d r.
Escolha uma opção:
2 pi

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
ointgamma Fcdot d r
onde gamma é a curva fechada de interseção do elipsoide
x^2+2y^2+z^2=4
com o plano
x+z=2,
orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Stokes para transformar integral de linha numa integral de superfície.

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Como
F=(sin(x^2),;cos y + x^2,;sin z + y),
temos
nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz sin(x^2) & cos y + x^2 & sin z + y =(1,,0,,2x)

Passo 3

Escolhemos a superfície S plana dada por z=2-x, cujo contorno é exatamente gamma.
Pelo Teorema de Stokes,
ointgamma Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot d S
Para a superfície implícita z=2-x, um vetor normal (não unitário) orientado “para cima” é
d S=(1,0,1),dx,dy

Passo 4

Fazendo o produto escalar,
(nablatimes F)cdot d S =l(1,0,2xr)cdot(1,0,1),dx,dy =(1+2x),dx,dy
Logo
ointgamma Fcdot d r =integral duplaR(1+2x),dx,dy,
onde R é a projeção de gamma no plano xy.

Passo 5

Para achar R, substituímos z=2-x na equação do elipsoide:
x^2+2y^2+(2-x)^2=4 ;Longrightarrow; 2x^2-4x+2y^2=0 ;Longrightarrow; (x-1)^2+y^2=1
Então R é o disco de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 6

No disco (x-1)^2+y^2<=1, fazemos a mudança u=x-1, v=y.
Então 1+2x=1+2(u+1)=3+2u e dx,dy=du,dv. Como o termo 2u anula por simetria,
integral duplaR(1+2x),dx,dy =integral duplau^2+v^2<=1(3+2u),du,dv =3cdotpi+2cdot0 =3pi

Resposta

ointgamma Fcdot d r = 3pi

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