Seja e seja a curva interseção do elipsoide com o plano orientada de maneira tal que sua projeção no plano seja percorrida em sentido anti-horário.
Calcule .
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pede o integral de linha
onde é a curva fechada de interseção do elipsoide
com o plano
orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Stokes para transformar integral de linha numa integral de superfície.
Passo 2
Calcular o rotacional de . Como
temos
Passo 3
Escolhemos a superfície S plana dada por z=2-x, cujo contorno é exatamente gamma.
Pelo Teorema de Stokes,
ointgamma Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot d S
Para a superfície implícita z=2-x, um vetor normal (não unitário) orientado “para cima” é
d S=(1,0,1),dx,dy
Passo 4
Fazendo o produto escalar,
(nablatimes F)cdot d S =l(1,0,2xr)cdot(1,0,1),dx,dy =(1+2x),dx,dy
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ointgamma Fcdot d r =integral duplaR(1+2x),dx,dy,
onde R é a projeção de gamma no plano xy.
Passo 5
Para achar R, substituímos z=2-x na equação do elipsoide: