Calcule a superfície específica em \mathrm{m}^{2} / \mathrm{g}, de um sistema de partículas formado por areia fina (cubos com 0,1 \mathrm{~mm} de aresta). Considere que a massa específica das partículas seja igual a 2,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a superfície específica (ou área superficial específica) em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g} de um conjunto de partículas que são cubos de aresta 0,1\\ \mathrm{mm}.\n
Informações dadas:\n
  • aresta do cubo: \,a = 0,1\\ \mathrm{mm} (isto é, aresta de cada partícula);\n
  • massa específica (densidade) das partículas: \rho = 2,65\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.\n

Passo 2

Conceito importante e fórmulas do cubo (aulas rápidas):\n
  • Área superficial de um cubo de aresta \,a é a soma das áreas das 6 faces, cada face tem área \,a^{2}. Logo a área superficial é
A = 6\,a^{2}.
Expliquei: A é a área total de uma partícula; a é a aresta.\n
  • Volume de um cubo de aresta \,a é
V = a^{3}.
Expliquei: V é o volume que a partícula ocupa.\n
  • Massa de uma partícula é densidade vezes volume:
m = \rho \, V = \rho \, a^{3},
onde \rho é a massa específica (densidade), com unidade compatível com a massa desejada.\n
  • Superfície específica (área superficial por massa) é
S = \frac{A}{m} = \frac{6\,a^{2}}{\rho\,a^{3}} = \frac{6}{\rho\,a}.
Expliquei: ao dividir área pela massa, as potências de a cancelam parcialmente, ficando 1/a multiplicado por constantes.

Passo 3

Converter todas as grandezas para unidades coerentes para obter S em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.\n
  • Converter a para metros:
a = 0,1\\ \mathrm{mm} = 0,1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Expliquei: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
  • Converter \rho para \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3} (porque usaremos a em metros e queremos massa em gramas):\n
    Sabendo que 1\\ \mathrm{cm}^{3}=10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}, então 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}=10^{6}\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}. Logo
\rho = 2{,}65\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} = 2{,}65\times 10^{6}\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}.
Expliquei: assim \rho e a estão em unidades compatíveis para a fórmula \frac{6}{\rho a} produzir \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.

Passo 4

Usar a fórmula simplificada já obtida para S:
S = \frac{6}{\rho\,a}.
Aqui S terá unidade \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g} se \rho estiver em \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3} e a em \mathrm{m}. Expliquei: dimensões — \rho\,a tem unidade (\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3})\cdot \mathrm{m} = \mathrm{g}/\mathrm{m}^{2}, portanto 1/(\rho a) tem unidade \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular passo a passo:\n
Calcular o produto \rho\,a:
\rho\,a = \left(2{,}65\times 10^{6}\right)\times\left(1{,}0\times 10^{-4}\right)\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{2} = 2{,}65\times 10^{2}\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{2} = 265\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{2}.
Expliquei: multipliquei as potências de 10 e os fatores numéricos.\n
Agora
S = \frac{6}{265}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.
Fazendo a divisão:
S \approx 0{,}022641509\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação (como você usaria na prova):\n
Arredondando para três casas significativas,
S \approx 0{,}0226\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.
Também pode ser escrito em notação científica:
S \approx 2{,}26\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}.
Expliquei: esse número significa que cada grama dessa areia fina tem aproximadamente 0{,}0226\\ \mathrm{m}^{2} de área superficial exposta.

Resposta

0{,}0226\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{g}

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