Para um solo arenoso, \mathrm{e}_{\max }=0,75, \mathrm{e}_{\min }=0,52 \mathrm{e} \mathrm{G}=2,7. Quais são o índice de vazios e o peso específico seco a \mathrm{Dr}=65 \% ?

Passo 1

O enunciado dá os valores para um solo arenoso e pede dois resultados. Dados fornecidos:
\mathrm{e}_{\max}=0,75,\quad \mathrm{e}_{\min}=0,52,\quad \mathrm{G}=2,7,\quad \mathrm{D_r}=65\%=0,65.
Perguntas: calcular
  1. o índice de vazios (ou seja, o valor do coeficiente de vazios) \mathrm{e} correspondente a \mathrm{D_r}=65\%;
  2. o peso específico seco \gamma_d associado a esse \mathrm{e}.

Passo 2

Fórmula que liga índice de vazios \mathrm{e} com densidade relativa \mathrm{D_r}. Vou explicar bem devagar: a densidade relativa \mathrm{D_r} mede quão compactado está o solo entre o estado mais solto e o mais denso. A fórmula é
\mathrm{D_r}=\frac{\mathrm{e}_{\max}-\mathrm{e}}{\mathrm{e}_{\max}-\mathrm{e}_{\min}}.
Nessa fórmula:
  • \mathrm{D_r} é a densidade relativa (adimensional, aqui 0,65);
  • \mathrm{e}_{\max} é o índice de vazios no estado mais solto;
  • \mathrm{e}_{\min} é o índice de vazios no estado mais denso;
  • \mathrm{e} é o índice de vazios no estado pedido (o que queremos achar).
Rearranjando a fórmula para obter \mathrm{e}, isolamos \mathrm{e}:
\mathrm{e}=\mathrm{e}_{\max}-\mathrm{D_r}\,(\mathrm{e}_{\max}-\mathrm{e}_{\min}).
Expliquei a origem para que, na prova, você saiba inverter a fórmula sem congelar.

Passo 3

Agora substituímos os números e calculamos passo a passo:
Primeiro a diferença entre \mathrm{e}_{\max} e \mathrm{e}_{\min}:
\mathrm{e}_{\max}-\mathrm{e}_{\min}=0,75-0,52=0,23.
Depois multiplicamos pela densidade relativa:
\mathrm{D_r}\,(\mathrm{e}_{\max}-\mathrm{e}_{\min})=0,65\cdot 0,23=0,1495.
Finalmente:
\mathrm{e}=0,75-0,1495=0,6005.
Arredondando para conveniência prática (duas ou três casas decimais) podemos usar \mathrm{e}\approx0,601 ou \mathrm{e}\approx0,6005. Vou manter \mathrm{e}=0,6005 para mais precisão nos próximos passos.

Passo 4

Agora precisamos calcular o peso específico seco \gamma_d. A relação entre \gamma_d, a gravidade específica dos grãos G (ou G_s) e o índice de vazios \mathrm{e} é
\gamma_d=\frac{G\\ \gamma_w}{1+\mathrm{e}}.
Explicando as variáveis:
  • G é a gravidade específica dos sólidos (a massa específica relativa dos grãos; aqui G=2,7);
  • \gamma_w é o peso específico da água; vamos usar \gamma_w=9,81\\ \mathrm{kN/m^3} (valor padrão);
  • \mathrm{e} é o índice de vazios que acabamos de calcular.
    Essa fórmula vem da identidade \gamma_d=\rho_s g/(1+e) com \rho_s=G\rho_w e \gamma_w=\rho_w g. Resumindo: quanto menor \mathrm{e}, maior \gamma_d.

Passo 5

Substituindo os valores numericamente:
Calcule o numerador:
G\\ \gamma_w=2,7\cdot 9,81=26,487\\ \mathrm{kN/m^3}.
Calcule o denominador:
1+\mathrm{e}=1+0,6005=1,6005.
Divisão:
\gamma_d=\frac{26,487}{1,6005}\approx16,554\\ \mathrm{kN/m^3}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em geotecnia):
\gamma_d\approx16,55\\ \mathrm{kN/m^3}.

Passo 6

Pequenas observações práticas e de prova (rápidas e motivadoras):
  • Se na prova pedirem com menos casas decimais, use \mathrm{e}\approx0,601 e \gamma_d\approx16,55\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Se usarem \gamma_w=10\\ \mathrm{kN/m^3} (às vezes arredondam), ajuste: \gamma_d\approx(2,7\cdot10)/(1,6005)\approx16,87\\ \mathrm{kN/m^3}. Por isso sempre verifique qual \gamma_w o enunciado exige.
    Força aí — você conseguiu avançar nessa conta chata, mas importante!

Resposta

\mathrm{e}=0,6005 (aprox. 0,601)
\gamma_d\approx16,55\\ \mathrm{kN/m^3}

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