EXPERIMENTO 2: MRUV (5R)
Dada a Tabela 1 com os dados da experiência, a seguir, calcule a Tabela 2.
A régua utilizada para medir d possui menor divisão em 1 mm e o tempo 0,001 \mathrm{~s}.
Tabela 1 - Dados da Experiência
d (m) \mathrm{t}_{1}(\mathrm{~s}) \mathrm{t}_{2}(\mathrm{~s}) \mathrm{t}_{3}(\mathrm{~s}) \mathrm{t}_{4}(\mathrm{~s}) \mathrm{t}_{5}(\mathrm{~s})
0,100 0,636 0,645 0,652 0,639 0,634
0,200 0,846 0,849 0,845 0,847 0,849
0,300 1,025 1,020 1,034 1,026 1,032
0,400 1,178 1,173 1,165 1,172 1,174
0,500 1,304 1,305 1,303 1,301 1,296
Tabela 2 - Cálculos
d (m) \sigma_{\mathrm{td}}(\mathrm{m}) \bar{t}(\mathrm{~s}) \sigma_{t \bar{t}}(\mathrm{~s}) \bar{t}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right) \sigma_{t \bar{t}^{2}}\left(\mathrm{~s}^{2}\right)
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
(a) (1R) Construa o gráfico d versus tou ( \mathbf{y}=\mathbf{d}, \mathbf{x}=\mathbf{t} )(Gráfico 1), utilizando dados da Tabela 2, no papel milimetrado (Faça a curva manualmente. Equilibre os pontos acima e abaixo da mesma). Inclua, neste caso, o ponto ( 0,0 ).
(b) (1R) Construa o gráfico \mathbf{d} versus \mathbf{t}^{2} ou ( \mathbf{y}=\mathbf{d}, \mathbf{x}=\mathbf{t}^{2} ) ( Gráfico 2), utilizando dados da Tabela 2, no papel milimetrado (Faça a reta, utilizando régua. Equilibre os pontos acima e abaixo da mesma). Inclua, neste caso, o ponto ( 0,0 ).
Obs.: As dimensões do papel milimetrado na Página 4, estão fora de escala (comprimidas), mas considere as divisões maiores como sendo de 1 \mathrm{~cm} \times 1 \mathrm{~cm} e as menores de 1 milímetro \times 1 milímetro.
Vamos calcular os coeficientes angular e linear da reta pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), usando a Tabela 3 abaixo. (Lembrando que o gráfico é o \mathbf{d} versus \mathbf{t}^{2}, isto é, \mathbf{y} versus \mathbf{x}, ou ( \mathbf{y}, \mathbf{x} ))
Tabela 3 - Tabela para Cálculos do MMQ
n d (m) \bar{t}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right) \mathrm{d}^{2} \left(\bar{t}^{2}\right)^{2} \mathrm{d} \cdot \bar{t}^{2}
1 0,100
2 0,200
3 0,300
4 0,400
5 0,500
\sum y_{i}= \sum x_{i}= \sum y_{i}^{2}= \sum x_{i}^{2}= \sum x_{i} y_{i}=
(c.1) (1R) Cálculo do Coeficiente Angular b:
b=\frac{n\left(\sum x_{i} y_{i}\right)-\left(\sum x_{i}\right) \cdot\left(\sum y_{i}\right)}{n\left(\sum x_{i}^{2}\right)-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}
b=
(c.2) (1R) Cálculo do Coeficiente Linear \mathbf{c} :
c=\frac{\left(\sum y_{i}\right)-b\left(\sum x_{i}\right)}{n}
c=
(c.3) (1R) Equação da melhor reta (\mathbf{y}=\mathbf{b} \mathbf{x + c}) :
y=\quad x+
Use o espaço abaixo para cálculos (organizadamente, por favor).

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da Tabela 1 (tempos repetidos para cada distância), você calcule a Tabela 2 com: a incerteza na medida de distância \sigma_{td}, a média dos tempos \bar{t}, a incerteza da média \sigma_{t\bar{t}}, o quadrado da média \bar{t}^{2} e a incerteza deste quadrado \sigma_{t\bar{t}^{2}}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\; - Distâncias medidas: \; \{0,100;\;0,200;\;0,300;\;0,400;\;0,500\}\,\mathrm{m}.
\; - Para cada distância há cinco tempos (Tabela 1). Vou usar esses cinco valores para calcular médias e desvios.
\; - Menor divisão da régua: 1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.
\; - Resolução do tempo: 0,001\\ \mathrm{s}.
O que preciso entregar depois: tabela com os itens indicados e, em seguida, usar \bar{t}^{2} como variável x e d como y para construir a Tabela 3 (calcular x,y,x^{2},y^{2},xy), somar colunas e aplicar o método dos mínimos quadrados para achar os coeficientes b e c da reta y=bx+c.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir como tratar as incertezas instrumentais. Para instrumentos com leitura por divisão (régua) e para a resolução do cronômetro presume-se distribuição uniforme (retangular) dentro da meia-divisão. A fórmula para a incerteza padrão de uma grandeza medida com meio-intervalo a/2 e distribuição retangular é:
u=\frac{a/2}{\sqrt{3}}.
Aqui a é a menor divisão. Para a régua a=0,001\\ \mathrm{m}, logo
\sigma_{td}= \frac{0,001/2}{\sqrt{3}} = \frac{0,0005}{\sqrt{3}} \approx 0,000288675\\ \mathrm{m}.
Vou arredondar e apresentar \sigma_{td} com três algarismos relevantes:
\sigma_{td} \approx 0,000289\\ \mathrm{m}.
A incerteza da resolução do tempo (instrumental do cronômetro) é análoga: a=0,001\\ \mathrm{s} e
u_{\text{res},t}=\frac{0,001/2}{\sqrt{3}} \approx 0,000289\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora calculamos, passo a passo, para a primeira linha ( d=0,100\\ \mathrm{m}):
Tempos: t_{1}=0,636, t_{2}=0,645, t_{3}=0,652, t_{4}=0,639, t_{5}=0,634 (em segundos).
  1. Média aritmética (fórmula):
\bar{t}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} t_{i},\quad n=5.
Cálculo:
\bar{t}=\frac{0,636+0,645+0,652+0,639+0,634}{5}=\frac{3,206}{5}=0,6412\\ \mathrm{s}.
  1. Desvio-padrão amostral s (fórmula):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-\bar{t})^{2}}.
Cálculo (mostrando as diferenças e quadrados):
\begin{aligned} &t_{1}-\bar{t}=-0,0052,\quad (t_{1}-\bar{t})^{2}=0,00002704,\\\ &t_{2}-\bar{t}=0,0038,\quad (t_{2}-\bar{t})^{2}=0,00001444,\\\ &t_{3}-\bar{t}=0,0108,\quad (t_{3}-\bar{t})^{2}=0,00011664,\\\ &t_{4}-\bar{t}=-0,0022,\quad (t_{4}-\bar{t})^{2}=0,00000484,\\\ &t_{5}-\bar{t}=-0,0072,\quad (t_{5}-\bar{t})^{2}=0,00005184. \end{aligned}
Somando os quadrados: 0,0002148. Então
s=\sqrt{\frac{0,0002148}{4}}=\sqrt{0,0000537}=0,007327\\ \mathrm{s}.
  1. Incerteza da média por variação amostral:
u_{\text{aleat}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,007327}{\sqrt{5}}=0,003277\\ \mathrm{s}.
  1. Combinar incerteza aleatória com incerteza instrumental do tempo (em quadratura):
\sigma_{t\bar{t}}=\sqrt{u_{\text{aleat}}^{2}+u_{\text{res},t}^{2}} =\sqrt{0,003277^{2}+0,000289^{2}}=0,003289\\ \mathrm{s}.
  1. Calcular \bar{t}^{2} e sua incerteza por propagação. Para y=t^{2} temos dy/dt=2t, logo:
\bar{t}^{2}=(0,6412)^{2}=0,411137\\ \mathrm{s}^{2}
(arredondei para 0,41114\\ \mathrm{s}^{2}) e
\sigma_{t\bar{t}^{2}}=|2\bar{t}|\cdot\sigma_{t\bar{t}}=2\cdot 0,6412\cdot 0,003289=0,004218\\ \mathrm{s}^{2}.
(Arredondei para 0,00422\\ \mathrm{s}^{2}.)

Passo 4

Repetimos o mesmo procedimento (mais compacto, mas com todos os passos numéricos) para d=0,200\\ \mathrm{m}:
Tempos: 0,846;\;0,849;\;0,845;\;0,847;\;0,849.
  1. Média:
\bar{t}=\frac{4,236}{5}=0,8472\\ \mathrm{s}.
  1. Desvio amostral:
    diferenças e quadrados (resumo) deram soma dos quadrados 0,0000128, então
s=\sqrt{\frac{0,0000128}{4}}=0,001789\\ \mathrm{s}.
  1. Incerteza aleatória da média:
u_{\text{aleat}}=\frac{s}{\sqrt{5}}=0,000800\\ \mathrm{s}.
  1. Combinação com resolução:
\sigma_{t\bar{t}}=\sqrt{0,000800^{2}+0,000289^{2}}=0,000851\\ \mathrm{s}.
  1. \bar{t}^{2} e sua incerteza:
\bar{t}^{2}=(0,8472)^{2}=0,717748\\ \mathrm{s}^{2},
\sigma_{t\bar{t}^{2}}=2\cdot 0,8472\cdot 0,000851=0,001443\\ \mathrm{s}^{2}.

Passo 5

Para d=0,300\\ \mathrm{m} (tempos 1,025;\;1,020;\;1,034;\;1,026;\;1,032):
  1. Média:
\bar{t}=\frac{5,137}{5}=1,0274\\ \mathrm{s}.
  1. Soma dos quadrados das diferenças: 0,0001272 s=\sqrt{0,0001272/4}=0,00564\\ \mathrm{s}.
  2. Incerteza aleatória da média:
u_{\text{aleat}}=\frac{0,00564}{\sqrt{5}}=0,002523\\ \mathrm{s}.
  1. Combinação:
\sigma_{t\bar{t}}=\sqrt{0,002523^{2}+0,000289^{2}}=0,002540\\ \mathrm{s}.
  1. \bar{t}^{2} e incerteza:
\bar{t}^{2}=(1,0274)^{2}=1,055551\\ \mathrm{s}^{2},
\sigma_{t\bar{t}^{2}}=2\cdot 1,0274\cdot 0,002540=0,005218\\ \mathrm{s}^{2}.

Passo 6

Para d=0,400\\ \mathrm{m} (tempos 1,178;\;1,173;\;1,165;\;1,172;\;1,174):
  1. Média:
\bar{t}=\frac{5,862}{5}=1,1724\\ \mathrm{s}.
  1. Soma dos quadrados das diferenças: 0,0000892 s=\sqrt{0,0000892/4}=0,004724\\ \mathrm{s}.
  2. Incerteza aleatória:
u_{\text{aleat}}=\frac{0,004724}{\sqrt{5}}=0,002113\\ \mathrm{s}.
  1. Combinação:
\sigma_{t\bar{t}}=\sqrt{0,002113^{2}+0,000289^{2}}=0,002133\\ \mathrm{s}.
  1. \bar{t}^{2} e incerteza:
\bar{t}^{2}=(1,1724)^{2}=1,374522\\ \mathrm{s}^{2},
\sigma_{t\bar{t}^{2}}=2\cdot 1,1724\cdot 0,002133=0,005003\\ \mathrm{s}^{2}.

Passo 7

Para d=0,500\\ \mathrm{m} (tempos 1,304;\;1,305;\;1,303;\;1,301;\;1,296):
  1. Média:
\bar{t}=\frac{6,509}{5}=1,3018\\ \mathrm{s}.
  1. Soma dos quadrados das diferenças: 0,0000508 s=\sqrt{0,0000508/4}=0,003564\\ \mathrm{s}.
  2. Incerteza aleatória:
u_{\text{aleat}}=\frac{0,003564}{\sqrt{5}}=0,001594\\ \mathrm{s}.
  1. Combinação:
\sigma_{t\bar{t}}=\sqrt{0,001594^{2}+0,000289^{2}}=0,001620\\ \mathrm{s}.
  1. \bar{t}^{2} e incerteza:
\bar{t}^{2}=(1,3018)^{2}=1,694683\\ \mathrm{s}^{2},
\sigma_{t\bar{t}^{2}}=2\cdot 1,3018\cdot 0,001620=0,004218\\ \mathrm{s}^{2}.

Passo 8

Resumindo a Tabela 2 (valores calculados). Observe que apliquei as mesmas regras de arredondamento consistente às incertezas.
Para cada linha: coluna \sigma_{td} é a mesma: 0,000289\\ \mathrm{m}.
  • d=0,100\\ \mathrm{m}:
\sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\quad \bar{t}=0,6412\\ \mathrm{s},\quad \sigma_{t\bar{t}}=0,003289\\ \mathrm{s},
\bar{t}^{2}=0,41114\\ \mathrm{s}^{2},\quad \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00422\\ \mathrm{s}^{2}.
  • d=0,200\\ \mathrm{m}:
\sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\quad \bar{t}=0,8472\\ \mathrm{s},\quad \sigma_{t\bar{t}}=0,000851\\ \mathrm{s},
\bar{t}^{2}=0,717748\\ \mathrm{s}^{2},\quad \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,001443\\ \mathrm{s}^{2}.
  • d=0,300\\ \mathrm{m}:
\sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\quad \bar{t}=1,0274\\ \mathrm{s},\quad \sigma_{t\bar{t}}=0,002540\\ \mathrm{s},
\bar{t}^{2}=1,055551\\ \mathrm{s}^{2},\quad \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00522\\ \mathrm{s}^{2}.
  • d=0,400\\ \mathrm{m}:
\sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\quad \bar{t}=1,1724\\ \mathrm{s},\quad \sigma_{t\bar{t}}=0,002133\\ \mathrm{s},
\bar{t}^{2}=1,374522\\ \mathrm{s}^{2},\quad \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00500\\ \mathrm{s}^{2}.
  • d=0,500\\ \mathrm{m}:
\sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\quad \bar{t}=1,3018\\ \mathrm{s},\quad \sigma_{t\bar{t}}=0,001620\\ \mathrm{s},
\bar{t}^{2}=1,694683\\ \mathrm{s}^{2},\quad \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00422\\ \mathrm{s}^{2}.

Passo 9

Agora preenchendo a Tabela 3 (usando x_{i}=\bar{t}^{2} e y_{i}=d):
Linhas (com produtos e quadrados):
  1. y_{1}=0,100, x_{1}=0,411137, y_{1}^{2}=0,0100, x_{1}^{2}=0,169034, x_{1}y_{1}=0,041114.
  2. y_{2}=0,200, x_{2}=0,717748, y_{2}^{2}=0,0400, x_{2}^{2}=0,515162, x_{2}y_{2}=0,143550.
  3. y_{3}=0,300, x_{3}=1,055551, y_{3}^{2}=0,0900, x_{3}^{2}=1,114209, x_{3}y_{3}=0,316665.
  4. y_{4}=0,400, x_{4}=1,374522, y_{4}^{2}=0,1600, x_{4}^{2}=1,889310, x_{4}y_{4}=0,549809.
  5. y_{5}=0,500, x_{5}=1,694683, y_{5}^{2}=0,2500, x_{5}^{2}=2,871947, x_{5}y_{5}=0,847342.
Somatórios:
\sum y_{i}=1,5\\ \mathrm{m},
\sum x_{i}=5,253641\\ \mathrm{s}^{2},
\sum y_{i}^{2}=0,5500\\ \mathrm{m}^{2},
\sum x_{i}^{2}=6,559662\\ \mathrm{s}^{4},
\sum x_{i}y_{i}=1,898479\\ \mathrm{m\cdot s}^{2}.
(Os valores acima foram obtidos somando as colunas calculadas linha a linha; arredondei os somatórios mantendo precisão compatível.)

Passo 10

Aplicando as fórmulas do MMQ para n=5:
Coeficiente angular b:
b=\frac{n\left(\sum x_{i} y_{i}\right)-\left(\sum x_{i}\right)\left(\sum y_{i}\right)} {n\left(\sum x_{i}^{2}\right)-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}.
Substituindo:
b=\frac{5\cdot 1,898479 - 5,253641\cdot 1,5}{5\cdot 6,559662 - (5,253641)^{2}} =\frac{1,611933}{5,197566}=0,31016\\ \mathrm{m/s}^{2}.

Passo 11

Coeficiente linear c:
c=\frac{\left(\sum y_{i}\right)-b\left(\sum x_{i}\right)}{n}.
Substituindo:
c=\frac{1,5 - 0,31016\cdot 5,253641}{5}=\frac{-0,129443}{5}=-0,02589\\ \mathrm{m}.

Passo 12

Equação da reta ajustada (variáveis y=d e x=\bar{t}^{2}):
y=0,31016\,x -0,02589.
Interpretação rápida: idealmente, para movimento uniformemente acelerado a partir da origem teríamos d=\tfrac{1}{2}a t^{2}, então b=\tfrac{1}{2}a. Se quisesse, poderia extrair a aceleração experimental a_{\text{exp}}=2b\approx 0,6203\\ \mathrm{m/s}^{2}.

Resposta

Tabela 2 (resumo por linha):
0,100 m: \sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\\ \bar{t}=0,6412\\ \mathrm{s},\\ \sigma_{t\bar{t}}=0,003289\\ \mathrm{s},\\ \bar{t}^{2}=0,41114\\ \mathrm{s}^{2},\\ \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00422\\ \mathrm{s}^{2}
0,200 m: \sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\\ \bar{t}=0,8472\\ \mathrm{s},\\ \sigma_{t\bar{t}}=0,000851\\ \mathrm{s},\\ \bar{t}^{2}=0,717748\\ \mathrm{s}^{2},\\ \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,001443\\ \mathrm{s}^{2}
0,300 m: \sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\\ \bar{t}=1,0274\\ \mathrm{s},\\ \sigma_{t\bar{t}}=0,002540\\ \mathrm{s},\\ \bar{t}^{2}=1,055551\\ \mathrm{s}^{2},\\ \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00522\\ \mathrm{s}^{2}
0,400 m: \sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\\ \bar{t}=1,1724\\ \mathrm{s},\\ \sigma_{t\bar{t}}=0,002133\\ \mathrm{s},\\ \bar{t}^{2}=1,374522\\ \mathrm{s}^{2},\\ \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00500\\ \mathrm{s}^{2}
0,500 m: \sigma_{td}=0,000289\\ \mathrm{m},\\ \bar{t}=1,3018\\ \mathrm{s},\\ \sigma_{t\bar{t}}=0,001620\\ \mathrm{s},\\ \bar{t}^{2}=1,694683\\ \mathrm{s}^{2},\\ \sigma_{t\bar{t}^{2}}=0,00422\\ \mathrm{s}^{2}
Somatórios Tabela 3:
\sum y_{i}=1,5\\ \mathrm{m},\\ \sum x_{i}=5,253641\\ \mathrm{s}^{2},\\ \sum y_{i}^{2}=0,55\\ \mathrm{m}^{2},\\ \sum x_{i}^{2}=6,559662\\ \mathrm{s}^{4},\\ \sum x_{i}y_{i}=1,898479\\ \mathrm{m\cdot s}^{2}
Coeficientes MMQ:
b=0,31016\\ \mathrm{(m/s^{2})}
c=-0,02589\\ \mathrm{m}
Equação ajustada:
y=0,31016\,x -0,02589.

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