Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
, que representa o volume de um sólido obtido por revolução de uma região plana. O conteúdo aqui é volume por revolução, e vamos precisar identificar qual é essa região, em torno de que eixo ela gira e qual método (discos/anel ou cascas) usar.
Passo 2
Como a integral está em
e o integrando é
, percebemos que ela veio de
. Logo,
implica
. Isso sugere que a fronteira da região é a curva
(ou seja,
), junto com as retas
e
e o eixo
.
Passo 3
No plano
desenhamos a parábola
para
, o eixo vertical
(eixo
) e as linhas horizontais em
e
. A região está limitada por essas curvas, ficando entre o eixo
e a parábola, do nível
até
.
Passo 4
O eixo de revolução é o eixo
(reta
), pois a integral está em
e usamos fatias horizontais. Cada fatia a uma altura
gera um disco de raio
e espessura
. Não há furo no meio do sólido, então o método mais direto é o dos discos (ou anéis com raio interno zero). Isso leva exatamente à integral
confirmando o formato dado.
Resposta
Eixo de revolução: eixo y (reta x=0). Método: discos (ou anéis) com fatias horizontais.