Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
pi integral0^5 y d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral pi integral0^5 y,dy, que representa o volume de um sólido obtido por revolução de uma região plana. O conteúdo aqui é volume por revolução, e vamos precisar identificar qual é essa região, em torno de que eixo ela gira e qual método (discos/anel ou cascas) usar.

Passo 2

Como a integral está em y e o integrando é y, percebemos que ela veio de piintegral R(y)^2,dy. Logo, R(y)^2=y implica R(y)=raizy. Isso sugere que a fronteira da região é a curva y=x^2 (ou seja, x=raizy), junto com as retas y=0 e y=5 e o eixo x=0.

Passo 3

No plano xy desenhamos a parábola y=x^2 para 0<= x<=raiz5, o eixo vertical x=0 (eixo y) e as linhas horizontais em y=0 e y=5. A região está limitada por essas curvas, ficando entre o eixo y e a parábola, do nível y=0 até y=5.

Passo 4

O eixo de revolução é o eixo y (reta x=0), pois a integral está em y e usamos fatias horizontais. Cada fatia a uma altura y gera um disco de raio R(y)=raizy e espessura dy. Não há furo no meio do sólido, então o método mais direto é o dos discos (ou anéis com raio interno zero). Isso leva exatamente à integral
V=piintegral0^5l(R(y)r)^2,dy=piintegral0^5(raizy)^2,dy=piintegral0^5y,dy,
confirmando o formato dado.

Resposta

Eixo de revolução: eixo y (reta x=0). Método: discos (ou anéis) com fatias horizontais.

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